1.3 Закон сохранения импульса

Замкнутой системой матерьяльных точек называется система матерьяльных точек, рассматриваемое как единое целое. Силы, действующие между матерьяльными точками, входящими в замкнутую систему называются внутренними. Силы, с которыми на мат.точки замкнутой системы действуют внешние тела, называются внешними.

Согласно 3му закону Ньютона геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

(F’ – внутр., F – внеш.) Пусть система состоит из n матерьяльных точек:

[знак системы] d (m1 v1) / dt = F1’ + F1; ….; d (mn vn) / dt = Fn’ + Fn.

Сумма всех внутренних сил F’ = 0 !!! F, P – векторные величины

(d / dt) * (m1 v1 + … + mn vn) = F1 + … +Fn

dP / dt = F , где F – равнодействующая всех внешних сил, приложенных к замкнутой системе матерьяльных точек. F = 0  dP / dt = 0  P = const

Закон сохранения импульса: Если равнодействующая всех сил, приложенных к замкнутой системе матерьяльных точек равна нулю, то суммарный импульс в замкнутой системе остается постоянным.

Закон сохранения импульса является одним из фундаментальных законов физики. Он справедлив не только в классической механике, но и в квантовой. Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симметрии пространства – его однородность. При параллельном переносе в пространство замкнутой системы как целого, ее физические свойства и законы движения не изменяются. Импульс системы матерьяльных точек может быть выражен через импульс центромасс этой системы.

(рисунок – ось ОХ, точки 0, x1, x0, x2; от x1 и x2 вниз идут вектора – m1, m2 - масса; расстояние от x1 до x0 = Xc – X1; от x0 до x2 = X2 – Xc)

m1 g (Xc – X1) = m2 g (X2 – Xc); m1 Xc – m1 X1 = m2 X2 – m2 Xc;

(m1 + m2) Xc = m1 X1 + m2 X2; Xc = (m1 X1 + m2 X2) / m; m= m1 + m2;

Xc= (сумма Mi Xi) / m ; r центромасс = (сумма m * r) / m ;

v центромасс = dr / dt = (d / dt)*([сумма m*v] / m) = (сумма m * dv / dt) / m =

(сумма m*v) / m = P / m ; P = m * v центромасс ; Видно, что сумма импульсов замкнутой системы матерьяльных точек равен импульсу центромасс этой системы – dP / dt = F1 +…+Fm ;

m * (dv центромасс / dt) = F1+…+Fm

dP / dt = F ; dP = F * dt. Произведение силы на время ее действия называется импульсом силы.

Закон движения материальной точки (или центра масс тела) под действием центральной силы, согласно которому: а) траекторией точки является плоская кривая, лежащая в плоскости, проходящей через центр силы; б) площадь, описываемая радиусом-вектором точки, проведённым из центра силы, растет пропорционально времени, т. е. точка движется с постоянной секторной скоростью. П. з. открыт И. Кеплером для движения планет вокруг Солнца и опубликован в 1609 (см. Кеплера законы), а для общего случая доказан И. Ньютоном (1687).

Закон движения центра масс

т. е. центр масс системы движется как материальная точка в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Выражение (7) представляет собой закон движения центра масс.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

Реактивное движение.Уравнение Мещерского.

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.

Выведем уравнение движения тела пе­ременной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса раке­ты т, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т-dm, а скорость станет равной v+dv. Изменение импульса системы за отрезок времени dt

dp = [(m-dm) (v+dv)+dm (v + u)]- mv,

где u — скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда dp = mdv + udm

(учли, что dm dv-малый высшего порядка малости по сравнению с остальными).Если на систему действуют внешние силы, то dp = Fdt, поэтому Fdt = mdv + udm,mdv/dt=F-udm/dt.Член -udm/dt называют реактивной силой.Если u противоположен v, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится. Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы ma=F + F_p,которое впервые было выведено И. В.Мещерским.

Работа и кинетическая энергия. Мощность.

В качестве единой количественной меры различных форм движения материи и соответствующих им взаимодействий в физике вводится скалярная величина, называемая энергией.

Мощность-физическая величина N, измеряемая отношением работы A к промежутку времени t, в течение которого она совершена; если работа совершается равномерно, то N = A/ t.

Элементарной работой, силой F, называется величина, равная

dA = F * dr = F dr cos ; |dr| = ds ; Работа равна нулю в том случае, если: 1. тело неподвижно dr = 0  dA= 0. 2. =+ -/2, dA= 0.

dA>0, если  – острый угол и dA< 0, если  – тупой угол.

Вектор F (Fx, Fy, Fz) ; вектор dr (x, y, z) ; dA= F*dr = Fx*dx+Fy*dy+Fz*dz

A = (интеграл от 1 до 2) Fdr – работа силы по перемещению тела из 1 в 2.

Другой вариант записи – A = (интеграл от 1 до 2) Ft ds.

Кинетическая энергия мех системы–это энергия механического движения этой системы. Изменение кинетической энергии происходит за счет работы внешних сил.dT = dA. Используя второй закон Ньютона F=mdv/dt и умножая обе части равенства на перемещение dr, получим Fdr =m(dv/dt)dr=dA.Так как v=dr/dt,то dA=mvdv=mUvU=dT,откуда (интеграл от 0 до v)mUdU=mU²/2

Консервативные(поттенциальные) силы-силы,работа которых определяется только первоначальным и конечным положением тел и не зависит от траектории.

Диссипативне–силы,всегда направленные противоположно скоростям и совершающие отриц работу

Потенциальная энергия.

Работа, совершаемая потенциальными силами при изменениии конфигурации системы, т.е. расположении ее частей относительно системы отсчета не зависит от пути перехода из начального состояния в конечное. Эта работа A1-2 определяется только начальной и конечной конфигурацией систем, следовательно ее можно представить в виде разности значений некоторой функции конфигурации системы, называемой потенциальной энергией Wп. A1-2= П (1) – П (2) ; dA= - dП. В каждой конкретной задаче для получения однозначной энергетической зависимости каждой потенциальной рассматриваемой системы от ее конфигурации, выбирают нулевую конфигурацию, в которой потенциальная энергия системы считается равной нулю.

Потенциальной энергией механической системы называется величина, равная работе, которую совершают все действующие на систему потенциальные силы, при переводе системы из данного состояния в нулевое. dA= Fdr = Fx dx + Fy dy + Fz dz ; dA = - dП ;

dП = дП*dx / дх + дП*dy / дy + дП*dz / дz

dA = Fdr = Fxdx + Fydy + Fzdz = - дП*dx / дх - дП*dy / дy - дП*dz / дz

F = i * Fx + j * Fy + k * Fz = - (i *дП / дх + j *дП / дy + k *дП / дz) =

= - gradП

Потенциальная энергия материальной точки в однородном поле.

Силовое поле однородно, если сила F одинакова во всех точках поля. Рассмотрим однородный случай! Пусть сила F, приложенная к материальной точке действует вдоль оси Z ; dП = - dA = Fz dz ;

П = (интеграл z0 – z1) Fz dz = - Fz (z1 – z0) = -Fz * z ; Например тело в поле силы тяжести: F= mg ; z = h ; П = mgh

Закон сохранения энергии. Все законы сохранения связана с определенными свойствами симметрии пространства и времени. Закон сохранения импульса связан с однородностью пространства, т.е. вид физических знаков не изменяется при параллельном переносе в пространстве системы отсчета. Закон сохранения энергии связан с однородностью времени, т.е. выбор начала отсчета времени не изменяет физических законов или физические законы имвариантны относительно выбора начала отсчета времени.

Полной энергией называется сумма кинетической и потенциальной энергий. Механическая система называется консервативной, если все приложенные к ней непотенциальные силы не совершают работу, а все потенциальные силы постоянны во времени.

Потенциальная энергия системы может изменяться только за счет изменения ее консервации, поэтому если конфигурация системы не меняется, то П= const 

дП / dt = 0. Рассмотрим консервативную систему, на которую действует внутренняя и внешняя консервативные силы и внешние диссепативные силы. Пусть вектор Fi – это внешняя консервативная сила, приложенная к внешней точке. Вектор Fi’ – внутренняя консервативная сила. Вектор f i – внешняя диссепативная сила. Запишем 2ой закон Ньютона для i-той точки матерьяльной системы: m i * dv i / dt = Fi + Fi’ + f i ; dr = v i * dt ; mi vi dt * dv / dt = (Fi’ + Fi) dvi + fi dri ; d (mi vi² / 2) = (Fi’+Fi)dri+fidri

Для всей системы будет тоже самое, но ставится знак суммы перед каждым слагаемым. Отсюда следует d К + dП = dA ; d(К + П) = dA ;

A1-2 = (интеграл 1-2) d(К + П) ; A1-2 = (К + П)2 = - (К - П)1.

Если внешние силы не совершают работу, то dA=0 ; d (К + П) = 0 ;

т.е. полная энергия системы остается постоянной К + П = const

Согласно теореме Нетер, закон сохранения энергии соответствует однородности времени, закон сохранения импульса - однородности пространства.

Законы сохранения и симметрия пространства и времени.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени. Однород­ность времени проявляется в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продо­лжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать.

Существует еще один вид систем — диссипативные системы, в которых механичес­кая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (или рассеяния) энергии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

В консервативных системах полная механическая энергия остается постоянной. Могут происходить лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и об­ратно в эквивалентных количествах так, что полная энергия остается неизменной. Этот закон не есть просто закон количественного сохранения энергии, а закон сохранения и превращения энергии, выражающий и качественную сторону взаимного превращения различных форм движения друг в друга. Закон сохранения и превращения энер­гии — фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем макроскопичес­ких тел, так и для систем микротел.

Что такое однородность времени, пространства и изотропия пространства? Необходимо дать точные

характеристики и определения.

1). Однородность времени означает, что если в два любые момента времени все тела замкнутой

системы поставить в совершенно одинаковые условия, то, начиная с этих моментов, все явления в ней будут

протекать совершенно одинаково.

2). Однородность пространства означает, что если замкнутую систему тел перенести из одного места

пространства в другое, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем

положении, то это не отразится на ходе всех последующих явлений.

3). Изотропия пространства означает то же (что в п. 2) по отношению к повороту системы на

заданный угол.

Эти свойства пространства и времени - фундаментальное обобщение опытных фактов.