1.2 Элементы динамики частиц.

Уравнения движения:

I)в классической механике:

1)Уравне́ния Э́йлера — Лагра́нжа (в физике также уравнения Лагранжа — Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно спринципом наименьшего действия, используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Утверждение:

Пусть задан функционал

с подынтегральной функцией  , обладающей непрерывными первыми частными производными и называемой функцией Лагранжа или лагранжианом, где через f' обозначена первая производная f по t. Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции  , то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

2)Уравне́ния Гамильто́на (также называемые каноническими уравнениями) в физике и математике — система дифференциальных уравнений:

,

где точкой над p и q обозначена производная по времени. Система состоит из 2N дифференциальных уравнений первого порядка (j = 1, 2, …, N) для динамической системы, описываемой N (обобщёнными) координатами, являющихся уравнениями движения (одной из форм таких уравнений, наравне с уравнениями Лагранжа, являющейся обобщением ньютоновских уравнений движения) системы, где   — так называемая функция Гамильтона, также иногда именуемая гамильтонианом, t — время^[1], q_i — (обобщенные) координаты  , и p_i — обобщенные импульсы  , определяющие состояние системы (точку фазового пространства).

Основная физическая интерпретация:

Наиболее простая интерпретация этих уравнений заключается в следующем. Гамильтониан   представляет в наиболее простых случаях энергию физической системы, которая есть сумма кинетической и потенциальной энергий, традиционно обозначаемых   и   соответственно:

В частном случае, если q = X — декартовы координаты каждой материальной точки системы, записанные подряд по три (физическое пространство будем подразумевать здесь обычным трёхмерным), то есть

 и т. д.,

то канонические уравнения Гамильтона совпадают, учитывая предыдущий абзац, с уравнениями движения Ньютона в виде:

где  , причем каждое подпространство дает радиус-вектор соответствующей материальной точки:

 итд,

а обобщенные импульсы — соответствующие компоненты трехмерных импульсов этой точки:

 итд.

[Править]Вывод уравнений Гамильтона [править]Вывод из принципа стационарного действия

Из принципа наименьшего (стационарного) действия уравнения гамильтона непосредственно получаются варьированием действия

,

независимо по q и по p.

II)в классической статистической механике:

3) Уравнение Лиувилля:

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения гамильтоновой системы в фазовом пространстве (хотя плотность правильный математический термин, но в физике принято называть это распределением). Рассмотрим гамильтонову систему с координатами q_i и сопряжёнными импульсами p_i, где  . Тогда распределение в фазовом пространстве ρ(p,q) определяет вероятность  , что частица будет найдена в малом объёме  . Уравнение Лиувилля управляет эволюцией ρ(p,q;t) во времени t:

Производная по времени обозначается точками, и оценивается согласно уравнениям Гамильтона для системы. Это уравнение демонстрирует сохранение плотности в фазовом пространстве. Теорема Лиувилля гласит

Функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Простое доказательство теоремы состоит в наблюдении, что эволюция ρ определяется уравнением неразрывности (непрерывности):

и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только следующими слагаемыми

где H — гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы, теорема означает, что конвективная производная плотности dρ / dt равна нулю, что следует из уравнения непрерывности, замечая, что поле скоростей   в фазовом пространстве бездивергентно (это следует из гамильтоновых уравнений для консервативных систем).

Другая иллюстрация состоит в том, чтобы рассмотреть траекторию множества точек в фазовом пространстве. Легко показать, что множество траекторий растягивается в одной координате, скажем — p_i — но сжимается по другой координате q_i так, что произведение Δp_iΔq_i остаётся константой.