2.3. Волновые процессы. Скорость движения частиц упругой среды- это частная производная от смещения по времени, т.Е.

 ,

с такой скоростью частицы среды колеблются около своих положений равновесия.

Волна. Плоская и синусоидальная волна. Бегущая и стоящая волна.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом или волной.

Поперечные волны – это волны, в которых смещение количества частиц происходит перпендикулярно направлению распространения волны.

Продольные волны – это волны, в которых смещение количества частиц происходит в направлении распространения волны.

Поперечные волны могут возникать в средах, в которых появляются упругие силы при деформации сдвига.

Волновой фронт – это геометрическое место точек пространства, до которого дошли колебания к моменту времени t. Фаза колебания у всех этих точек имеет одно и то же значение.

Волновая поверхность – это геометрическое место точек в пространстве, фаза колебания которых одинакова.

Волновой фронт один, а волновых поверхностей бесчисленное множество. В зависимости от формы фронта или волновой поверхности волны делятся на плоские, сферические и т.д.

Бегущая волна – это волна, которая переносит энергию.

Стоячая волна энергии не переносит. Стоячие волны образуюся в результате интерференции (наложения) 2х одинаковых, противоположных по направлению волн. Энергия, переносимая волной количественно характеризуется вектором плотности потока энергии, вектором Умова.

y = A sin (wt + φ0)

Колебания в точку, расположенную на расстоянии X от начала координат приходит с запозданием на время x/v и среднее колебание в точке, с координатами X будет описываться выражением:

y (x, t) = A sin [w (t – x/v) + φ0] ; w (t – x/v) = wt – wx/v ; w = 2ПИ/ T ;

λ = vT  T = λ / v ; w = 2ПИ v/ λ ;

X = 2ПИ / λ – ВОЛНОВОЕ ЧИСЛО (волновой вектор равен значению волнового числа) – вектор, направление которого совпадает с направлением движения волны.

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль поло­жительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

y(x,t)=Acos[w(t -х/v)+j₀],

где А=const — амплитуда волны, w — циклическая частота волны, j₀ — начальная фаза колебаний, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, [w(t-x/v)+j₀]—фаза плоской волны.

y (x, t)= Asin (wt – kx + φ0) – уравнение плоской синусоидальной бегущей волны, распространяющейся в положении направления оси X. Учитывая формулу Эйлера, эту плоскую волну можно записать в виде

y (x, t) = A e (ст. i (wt – kx + φ)) ; sinx(t) = A sin (wt – kx + φ0).

Длинна волны -расстояние, между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе.

Фазовая скорость волны – это скорость распространения точки с постоянной фазой – Ф = const ; v = dx / dt ; Дифференцируем Ф и получаем:

dФ = d (wt – kx – φ0) = wdt – kdx  dx / dt = w/k – фазовая скорость волны!

Дисперсия света. Фазовая скорость волны может зависить от ее частоты w, это явление называется дисперсией. Среда, при распространении в которой волны, ее фазовая скорость зависит от частоты, называется дисперсирующей средой.

Интерференция волн-перераспределение энергии в пространстве,с устойчивым во времени образованием максимумов(x=n) в одних точках и минимумов(x=/2(2n+1)) в других

ЭНЕРГИЯ УПРУГИХ ВОЛН

Упругие волны переносят энергию, которая равна сумме кинетической и потенциальной энергии всех составляющих частиц среды, где происходят колебания.

Т.к. среда может быть бесконечной, удобно определять энергию волны через энергию, приходящуюся на единицу объема. К_V=mU²/2=VU²/2;

|U|=Asin(t-2x/).W_k(удельная плотность энергии)=К_V/V=1/2²A²sin²(t-2x/);

W_k=W_п;W=W_k+W_п=²A²sin²(t-2x/)

Видно, что плотность энергии зависит от времени. Это значит что в процессе распространения колебаний энергия изменяется от 0 до W_max=rw²A², что соответствует моментам полной отдачи энергии соседним участкам среды (0) и получении новой порции энергии от источника.

ВЕКТОР УМОВА. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии.Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова. Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.

p(вектор)=wU(вектор),где p=dE/(dt*dS)-энергия,распространяющаяся через единицу площади,перпенд-но к поверхн за единицу времени(плотность потока энергии),а w=dE/dV-энергия,заключенная на единицу обьема(обьемная плотность)

Эффект Доплера-изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. Например, из опыта известно, что тон гудка поезда повышается по мере его приближения к платформе и понижается при удалении, т. е. движение источника колебаний (гудка) относительно приемника (уха) изменяет частоту принимаемых колебаний.

1. Источник и приемник покоятся относительно среды, , т.е. v_ист=v_пр=0. Если v-скорость распространения звуковой волны в рассматриваемой среде, то длина волны =vT=v/v₀. Распространяясь в среде, волна достигнет приемника и вызовет колебания его звукочувствительного элемента с частотой

=v/=v/(vT)=₀

2. Приемник приближается к источнику, а источник покоится, т.е. v_пр>0, v_ист=0. В данном случае скорость распространения волны относительно приемника станет равной v+v_пр. Так как длина волны при этом не меняется, то v=U+U_пр/= U+U_пр/UT=(U+U_пр)v₀/U

3.Источник приближается к приемнику, а приемник покоится, т.е. v_ист>0, v_наб=0. Скорость распространения колебаний зависит лишь от свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние vT (равное длине волны ) независимо от того, движется ли источник или покоится. За это же время источник пройдет в направлении волны расстояние v_истT , т.е. длина волны в направлении движения сократится и станет равной '=-v_истТ=(v-v_ист)Т, тогда v=U/’=U/((U-U_ист)T)=Uv₀/(U-U_ист)

4. Источник и приемник движутся от­носительно друг друга. Используя результаты, полученные для случаев 2 и 3, можно записать выражение для частоты колебаний, воспринимаемых источником: v=((U±U_пр)v₀)/(U±U_ист)

Эффект Доплера различен в зависимости от того, движется ли источник или приемник.

Групповая скорость и ее связь с фазовой скоростью. Если среда, в которой распространяются одновременно несколько волн линейно, т.е. ее свойства не зависят от возмущений, создаваемых волнами, то у этой среде применим принцип суперпозиции: при распространении нескольких волн в среде, каждая из них распространяется независимо от других, а результат их совместного действия является простой суммой действия каждой из этих волн.

Волновой пакет – это суперпозиция волн, мало отличающихся по частоте и занимающих в каждый момент времени ограниченную область пространства. (рисунок – график сжатой синусойды – сначало высота по y возрастает, а потом уменьшается, не периодична).

Рассмотрим простой волновой пакет, состоящий из 2х близких по частоте волн с одинаковой амплитудой.

Групповая скорость – это скорость перемещения в пространстве этого волнового пакета.

S1 = Asin (wt - kx) ; S2 = Asin [(w + dw) t – (k + dk) x] ; S = S1+S2;

S=2Asin (wt – kx) cos ((xdk – tdw) / 2) ; xdk – tdw = const ; u = dx/dt ;

d (xdk - tdw) = 0; dx dk – dt dw = 0  dx / dt = dw / dk ; u = dw / dk ;

w = kv ; dw = kdv + vdk ; u = v + k (dv / dk) ; k = 2ПИ / λ ;

dk = (2ПИ/ λ(ст.2)) dλ; u = v – λ (dv / dλ) ; Из этого выражения видно, что в зависимости от свойств среды групповая скорость может быть как больше, так и меньше фазовой скорости. Если среда не дисперсирующая, то dv / dλ = 0 и u = Ф. В теории относительности доказывается, что групповая скорость волны не может быть больше скорости света. На фазовую скорость ограничений не накладывается.

Одномерное волновое уравнение. Распространение волн в однородной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением 2го порядка. Если рассматривать трехмерный случай, то волна будет представлять вот что: S (x, y, z, t)

(д2 S/ дx (ст.2))+(д2 S/дy (ст.2))+(д2 S/ дz (ст.2)) = (1/v(ст.2)) (д2 S/дt (ст.2))

где v – фазовая скорость волны; (если из левой части вынести S, то получим оператор Лапласа, который обозначается перевернутым треугольником).

В одномерном случае будет так:

S (x, t) = Asin (wt – kx + φ0) ; Непосредственной подстановкой можно убедиться, что эта плоская волна удовлетворяет одномерному волновому уравнению.