2.2. Гармонический осциллятор

Движение системы вблизи положения равновесия (при малом от него отклонении) может быть существенно разным в зависимости от характера типа) Р. с.

Для систем с одной степенью свободы, если Р. с. устойчиво, при малом возмущении (отклонении) система возвращается к нему, совершая затухающие колебания (на фазовой плоскости )— такому движению соответствует устойчивый фокус; рис 1

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида: d^2прs/dt^2пр+w^2пр₀s=0.Свободные колебания такой системы представляют собой синусоидальное движение около положения равновесия.Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды

Физический маятник–это твердое тело, способное совершать колебания под действием своей силы тяжести вокруг оси, не проходящей через центр тяжести тела. Эта ось называется осью качания.

M = - J E ; M = m g d * sinφ (где d – расстояние от центромасс до места крепления физического маятника) ; J E = - mgd sinφ ; E = d^2пр φ / dt² ;

J * (d^2пр φ / dt²) + mgd sinφ = 0 ; d^2пр φ / dt² + (mgd / J) sinφ = 0 ;

Это дифференциальное уравнение, описывающее колебания физического маятника. При малых углах уклонения можно считать, что sinφ = φ радиан ;

(d^2пр φ / dt²) + mgdφ / J = 0 ; Это дифференциальное уравнение описывает гармонические колебания, частота которых равна:

d^2пр S / dt² + ω₀² S = 0 ; ω₀² = mgd / J ; ω₀ = корень (mgd / J) ;

T = 2 / ω₀ = 2 (корень J / mgd).

Если твердое тело представляет собой материальную точку, подвешенную на невесомой, нерастяжимой нити и способную совершать колебания, то маятник будет математическом. J = md² ; T = 2 (корень md² / mgd) = 2 (корень d / g); T = 2 (корень d / g) – период колебания математического маятника.

Пружинный маятник.-это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F=-kx, где k - коэффициент упругости, в случае пружины называемый жесткостью.ma = Fупр ; m * (d^2пр x / dt²) = - kx ; (d^2пр x / dt²) + kx / m = 0 – это дифференциальное уравнение, описывающее колебания груза на пружине, жесткость которого равна k. Частота этих колебаний: ω₀= (корень) k / m ; Период: T=2 (корень m / k)

Кинетическая энергия записывается в виде:К=1/2m (dx/dt)²=1/2kA²sin²(ω₀t+φ),

Потенциальная энергия П=1/2kx²=1/2kA²cos²(ω₀t+φ),тогда полная энергия имеет значение:E=1/2kA².

Свободные и затухающие колебания. Во всякой реальной колебательной системе всегда присутствует сила трения, которую также необходимо учитывать при рассмотрении колебания. При колебательном движении осциллятора им будет совершена работа против сил трения, в результате чего энергия колебаний будет постепенно уменьшаться и как следствие будет уменьшаться амплитуда колебаний. Свободные затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается из-за потерь энергии колебательной системой. Рассмотрим линейную колебательную систему – систему, параметры которой не изменяются в ходе колебаний. Рассмотрим колебания осциллятора, на который помимо квазе-упругих сил действует сила трения. Будем считать, что эта сила трения пропорциональна скорости колебания матерьяльной точки.

F= Fупр+Fтр ; Fупр = -kx ; Fтр = -b * dx/dt ; m * d2 x / dt²= -b*dx/dt – kx

Уравнение, описывающее затухающие колебания:

(d^2пр x / d t²) + b/m * dx/dt + kx / m = 0 ; Введем обозначения:

ω₀² = k/m ; b/m = 2;  = b/2m; b – коэффициент сопротивления ; (d2 x / dt²) + 2*dx/dt + ω₀² x = 0 ;

 – коэффициент затухания. (из-за диссипации(рассеяние) энергии благодаря силам вязкого трения для механических затухающих колебаний)

Общее решение этого уравнения будем искать в виде X = A e (ст.ЛЯМДА t).

Подставим это решение в дифференциальное уравнение затухающих колебаний: dx/dt = A ЛЯМДА e (ст. ЛЯМДА t) ; d^2пр x / dt² = A ЛЯМДА (ст.2) e (ст. ЛЯМДА t); A ЛЯМДА (ст.2) e (ст. ЛЯМДА t) + 2bA ЛЯМДА e (ст.ЛЯМДА t) + ω₀² A e (ст.ЛЯМДА t) ; Сокращаем:

ЛЯМДА (ст.2) +2А d + ω₀² = 0 – характеристическое уравнение.

Решая его, получаем: X = -  + - (корень ² – w 0 (ст.2)) =

-  + - i (корень ω₀² – ²) ; Таким образом общее решение исходного дифференциального уравнения можно преобразовать к виду: w = (корень ω₀² – ² ); X (t) = A₀ e (ст. – t) sin (wt + ₀) ;

(рисунок – график затухающих колебаний – сжатый синус, все ниже и неже стает по оси OY)..Затухающие колебания не являются периодическими, т.к. максимальное значение колеблющихся величин, достигаемое в некоторый момент времени в последующем никогда не повторяется, поэтому можно говорить об условном периоде затухающих колебаний – T = 2 / ω = 2 / (корень ω₀² – ²). Если  >= ω₀, то процесс становится апериодическим.

Энергия гармонических колебаний

Во время колебательных процессов происходит периодическое превращение потенциальной энергии системы в кинетическую. Например, отклонив математический маятник в сторону и, следовательно, подняв его на высоту h, ему сообщают потенциальную энергию  . Она полностью переходит в кинетическую энергию движения  , когда груз проходит положение равновесия и скорость его максимальна. При колебаниях пружинного маятника кинетическая энергия движения груза переходит в потенциальную энергию деформированной системы. Величина полной энергии колеблющейся системы в любой момент времени равна сумме ее кинетической и потенциальной энергии:

или

	.		(7. 2)

Поскольку скорость – это первая производная от координаты по времени, то

.

Учитывая,что   и подставив выражения для   и  , получим:

.

То есть полная энергия системы, совершающей колебания, пропорциональна ее массе, квадрату амплитуды и квадрату собственной частоты. Так как силы, действующие на колеблющуюся частицу, являются консервативными, то ее механическая энергия остается постоянной. В процессе же колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.

На рис. 7.3 приведен график зависимости потенциальной энергии от координаты частицы. С ростом xуменьшается кинетическая энергия и увеличивается потенциальная. Максимального значение потенциальная энергия достигает в поворотных точках  , при этом кинетическая энергия равна нулю. Среднее за период значение кинетической энергии равно среднему за период значению потенциальной энергии.

Логарифмический декремент затухания.

δ = ln (A(t) / A(t + )) = ln (A₀ e (ст. –  t) / A₀ e (ст. –  (t + ))) = ln (A₀ e (ст. –  t) / A₀ e (ст. –  t) e (ст. –  )) =T ;

δ =  T = 1 / N ; Время релаксации () в течении которого амплитуда затухающих колебаний убывает в e раз ; A = A₀ / e = A₀ e (ст. –  ) ; e (ст. - 1) = e (ст. –  ) –   = 1 ;

 = 1 /  ; N =  / T – число колебаний, в течении которых амплитуда убывает в e раз ; δ = 1 / N ;

Добротность. Q = [2  W (t)] / [W (t) – W (t + T)]; Добротность Q – это величина, пропорциональная отношению энергии, запасенной в колебательной системе к уменьшению этой энергии за один период. Т.к. энергия, запасенная в колебательной системе пропорциональна квадрату амплитуды, то: Q = 2  A (ст.2) (t) / A (ст.2) (t) – A (ст.2) (t +T);

A = A₀ e (ст. –  t) ; Q=2 A₀ e(ст.-2  t) / A₀ (ст.2) e(ст. –2  t) – A₀ e (ст.-2  (t + T)) ; Q = 2 / (1 – e (ст. –2  t)) ; Q= / δ – при малых затуханиях.

Вынужденные механическими-колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся(вынуждающей) силы F(t)=F₀cosωt; воспользуемся 2-ым законом Ньютона:

mx(сверху 2 точки)=-kx-rx(сверху 1 точка)+F₀cost;x(сверху 2 точки)+2x(сверху 1 точка)+ω₀²x=F₀cost/m.Они происходят с частотой ω вынуждающей силы

A(ω)=числитель(F₀/m),знаменат(корень из (ω₀²-ω²)²+4⁴ω⁴ (*1)При ω_рез=корень из ω₀²-2 ²(*2),амплитуда достигает максимального значения…На рисунке ₂>₁

Фа́за колеба́ний — физическая величина, при заданной амплитуде и коэффициенте затухания, определяющая состояние колебательной системы в любой момент времени.^[1]Если колебания системы описываются синусоидальным (косинусоидальным) или экспоненциальным законами:

,

,

,

то фаза колебаний определяется как аргумент периодической функции, описывающей гармонический колебательный процесс (ω— угловая частота, t— время,  — начальная фаза колебаний, то есть фаза колебаний в начальный момент времени t = 0).

Фаза обычно выражается в угловых единицах (радианах, градусах) или в циклах (долях периода):

1 цикл = 2π радиан = 360 градусов.

Амплиту́да — максимальное значение смещения или изменения переменной величины от среднего значения при колебательном или волновом движении. Неотрицательнаяскалярная величина, размерность которой совпадает с размерностью определяемой физической величины.

Синусоидальное колебание. y — амплитуда волны, λ — длина волны.

Иначе: Амплитуда - модуль максимального отклонения тела от положения равновесия. Например:

Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рис. 3 приведены типовые кривые I(f);   и   для цепи на рис. 1 при U=const.

П.с. Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q,

Q = [2  W (t)] / [W (t) – W (t + T)]; Добротность Q – это величина, пропорциональная отношению энергии, запасенной в колебательной системе к уменьшению этой энергии за один период. Т.к. энергия, запасенная в колебательной системе пропорциональна квадрату амплитуды, то: Q = 2  A (ст.2) (t) / A (ст.2) (t) – A (ст.2) (t +T);

A = A₀ e (ст. –  t) ; Q=2 A₀ e(ст.-2  t) / A₀ (ст.2) e(ст. –2  t) – A₀ e (ст.-2  (t + T)) ; Q = 2 / (1 – e (ст. –2  t)) ; Q= / δ – при малых затуханиях.

Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте w_рез При ²<<w² значение w_рез практически совпадает с собственной частотой w₀ колебательной системы.Подставим (*2)в (*1),получим:

A_рез=x₀ /(2 на корень из ω₀²-²)

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС - явление раскачки колебаний при периодич. изменении параметров тех элементов колебат. системы, в к-рых сосредоточивается энергия колебаний (реактивные или энергоёмкие параметры). П. р. возможен в колебат. системах разл. физ. природы. Напр., в электрич. колебательном контуре реактивными параметрами являются ёмкость С и индуктивность L, в к-рых запасены электрич. энергия W_э = q²/2C и магн. энергия W_м = LI²/2 (где q - заряд на обкладках конденсатора, I - ток в катушке индуктивности).