2. Механика колебаний и волн.

Колебательными называются процессы в той или иной степени повторяющиеся во времени. Виды колебаний:

Свободными колебаниями называются колебания, которые возникают в колебательной системе, в отсутствии внешних воздействий. Эти колебания возникают в следствии какого-либо начального наклонения колебательной системы от положения равновесия.

Вынужденные колебания – это колебания, возникающие в колебательной системе под влиянием переменного внешнего воздействия.

Колебания называют переодическими, если значения всех физических величин, характеризующих колебательную систему повторяется через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени, удовлетворяющий этому условию называется периодом колебания T.

Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы.

2.1.Кинематика гармонических колебаний.

Гармонические колебания-колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа.

X(t)=Acos(₀t+),X(t)-смещение частицы относительно положения равновесия в мом. Времени t, амплитудой колебаний(А)-максимальное значение колеблющейся величины ,круговая (циклическая) частота(число колебаний за 2 с) ₀ = 2 / t = 2v,  - начальная фаза колебаний-состояние колебательного процесса в определенный момент времени Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то s может, принимать значения от + А до -А.

Комплексная форма представления гармонич колебаний

В этом методе колеблющуюся величину представляют комплексным числом.Любое действительное число может быть представлено точкой на числовой оси.Комплексное число Z=x+iy.Согласно формуле Эйлера, для комплексных чисел,e^iφ=cos+isin,где i=-1-мнимая единица. Модуль Z = корень из x²+y²=A;Z*=x-iy;Z=A(cos+isin),откуда Z(t)=A*e (в степени(i*(t+φ₀))

В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина Z равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа.

Скорость гармонических колебаний U=dx/dt=-Asin(t+₀).

Ускорение гармонических колебаний Umax=dU/dt=-²Acos(t+₀)=-²*x.

Векторные диаграммы.

Гармонические колебания изображаются графически методом векторных диаграмм: Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью w₀, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от -A до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s=Acos(w₀t+j). Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом j, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью w₀ вокруг этой точки.

Биения.

два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть есть 2 колебания:x₁=A₁cos(ω₁t+φ₀₁),x₂=A₁cos(ω₂t+φ₀₂),ω₂=ω₁+Δω,Δω – очень мало

A=корень из A₁+A₂+2A₁A₂cos(φ). X=x₁+x₂=2Acos Δω*t/2 cos ωt,x=A_биения cosω_бt₀;A_б=2Acos Δω*t/2.

Фигуры Лиссажу.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний(рис)

Сложение гармонических колебаний.

Графически гармонические колебания можно изобразить с помощью вращающегося вектора на плоскости: (рисунок – оси OX, OY, вектор, угол между ним и OX равен wt + φ0; под графиком подпись S = A sin (wt + φ0)).

Графическое представление гармонических колебаний посредством вращающегося вектора амплитуды A называется методом векторных диаграмм. Рассмотрим с помощью этого метода сложение 2х одинаково направленных гармонических колебаний, одинаковой частоты w.

S1 = A1 cos (w0 t + φ1); S2 = A2 cos (w0 t + φ2); S = S1+ S2 = A cos (w0 t + φ)

Используя теорему косинусов можно получить:

A(ст.2)=A1(ст.2) + A2(ст.2) + 2A1 A2 cos (φ2 – φ1) ;

tg φ = (A1 sin φ1 + A2 sin φ2) / (A1 cos φ1 + A2 cos φ2)

1) φ2 – φ1 = + - 2ПИn, n = 0,1,2… A=A1+A2; MAX;

2) φ2 – φ1 = + - (2n +1)ПИ ; A= |A1 – A2|; MIN – это когерентные волны