3.3.2. Електромагнітна індукція

Явище електромагнітної індукції полягає у виникненні в контурі е.р.с. індукції при зміні потоку магнітної індукції крізь поверхню, що охоплює контур. Величина е.р.с. індукції визначається рівнянням:

.

Зміна потоку магнітної індукції може досягатися зміною сили струму в самому контурі (явище самоіндукції). При цьому е.р.с. самоіндукції визначається формулою:

,

де – індуктивність (коефіцієнт самоіндукції) контуру.

Індуктивність соленоїда:

,

де – довжина соленоїда, – площа його поперечного перерізу, – число витків, що припадають на одиницю його довжини.

Внаслідок явища самоіндукції сила струму в колі при вимкненні е.р.с. спадає за законом:

,

а при вмиканні е.р.с. сила струму зростає за законом:

,

де – опір кола.

Магнітна енергія контуру з струмом дорівнює:

.

Кількість заряду, що проходить через поперечний переріз провідника при виникненні в ньому індукційного струму, дорівнює:

.

3.4. Електромагнітні коливання і хвилі

Період електромагнітних коливань у контурі, що складається з ємності , індуктивності і опору , визначається формулою:

Якщо опір контуру не рівний нулю, то коливання будуть згасаючими і різниця потенціалів на обкладинках конденсатора змінюватиметься з часом за законом:

.

Час потрібно відраховувати від моменту, що відповідає найбільшій різниці потенціалів на обкладинках конденсатора.

Коефіцієнт згасання:

.

Згасаючі коливання характеризуються логарифмічним декрементом

згасання:

.

У разі слабкого згасання, коли , значення можна прийняти

.

Тоді

.

Добротність контура

.

Якщо , то коливання будуть незгасаючими і тоді можна написати:

.

Якщо ж час відраховувати від моменту, коли різниця потенціалів на обкладинках конденсатора рівна нулю, то буде справедливим співвідношення:

.

Закон Ома для змінного струму записується у вигляді:

,

де – повний опір кола, і – ефективні значення сили струму та напруги, пов’язані з їхніми амплітудними значеннями і співвідношеннями:

, .

Якщо коло містить послідовно з’єднані активний опір , ємність і індуктивність , то його повний опір визначається формулою:

.

Зсув фаз між напругою і силою струму при такому з’єднані становить:

.

Потужність змінного струму дорівнює:

.

Швидкість електромагнітних хвиль в однорідному ізотропному середовищі з діелектричною проникністю і магнітною проникністю рівна:

,

де – швидкість електромагнітних хвиль у вакуумі.

Густина потоку енергії (або інтенсивність випромінювання) електромагнітних хвиль, тобто кількість енергії, що переноситься за одиницю часу через одиничну площу, перпендикулярну напряму поширення хвилі, визначається вектором Пойнтінга:

,

де , – вектори напруженості електричного і магнітного полів у електромагнітній хвилі, а вектор співпадає з напрямом її поширення.

4. Приклади розвязування задач

4.1. На шовкових нитках довжиною висять, дотикаючись одна до одної, дві кульки малого діаметра масою кожна. На яку відстань розійдуться кульки, якщо кожній з них надати заряд ?

Дано:	СІ	Аналіз
r - ?

На малюнку заряджені кульки А і В зображені в положенні рівноваги.

Розглянемо умову рівноваги кульки В. На неї діє сила тяжіння , сила кулонівського відштовхування і сила реакції нитки . Рівновага настає при такому положенні кульки, коли рівнодіюча всіх трьох сил буде рівна нулю, тобто рівнодіюча сил і виявиться напрямленою уздовж нитки і буде врівноважуватися силою реакції нитки . З подібності трикутників і випливає:

або . (1)

Для спрощення подальших розрахунків необхідно використати очевидну умову , що випливає з того факту, що сили електростатичного відштовхування швидко спадають із збільшенням відстані між кульками, тоді як сила тяжіння від цієї відстані не залежить. Таким чином у трикутнику можна прийняти і замінити співвідношення (1) співвідношенням або . Підставивши сюди значення , взяте з закону Кулона , розв’яжемо рівняння відносно :

.

Обчислення:

.

Відповідь: кульки розійдуться на відстань: .

4.2. Суцільна металева сфера радіусом несе рівномірно розподілений заряд з поверхневою густиною . Визначити напруженість і потенціал електричного поля в точках: на відстані від центра сфери; на поверхні сфери; на відстані від центра сфери. Побудувати графіки залежностей і .

Дано:	СІ	Аналіз

За умовою статичного розподілу зарядів всередині сфери напруженість поля дорівнює нулю і потенціал в довільній точці всередині сфери однаковий і рівний потенціалу на поверхні сфери:

; .

Заряджена сфера створює навколо себе таке поле, яке створював би точковий заряд (який дорівнює заряду, що знаходиться на сфері), поміщений в центр сфери.

Для будемо мати:

;

.

Для :

;

.

Обчислення:

; ;

; .

Графіки відповідних залежностей мають вигляд:

Відповідь: напруженість: , , ; потенціал поля: ,

4.3. Електрон відривається від середини металевої нитки діаметром і довжиною , на якій рівномірно розподілений заряд . Вважаючи початкову швидкість електрона рівною нулю, визначити його енергію на відстані від нитки.

Дано:	СІ	Аналіз Енергія електрона дорівнює роботі сил електричного поля, затраченої на його переміщення. Для обчислень роботи необхідно заряд електрона помножити на різницю потенціалів точок початку і кінця шляху: (1)

Оскільки шлях, пройдений електроном, значно менший довжини нитки, ми можемо використати вираз для різниці потенціалів двох точок у полі нескінченно довгого зарядженого циліндра:

, (2)

де – відстань точки з потенціалом від осі циліндра; – відстань точки з потенціалом від осі циліндра; – електрична стала; лінійна густина заряду;

. (3)

В умовах завдання , тому з рівнянь (1), (2) і (3) випливає:

.

Обчислення:

.

Часто енергію частинок виражають у електрон-вольтах. Так як , то

.

Відповідь: енергія електрона дорівнює : .

4.4. Визначити густину зв'язаних зарядів на поверхні скляної пластинки товщиною , яка заповнює проміжок між двома плоскими електродами, до яких прикладена напруга .

Дано:	Аналіз Напруженість поля плоского конденсатора складається з напруженості , обумовленої зарядами пластин, і напруженості , обумовленої зв'язаними зарядами діелектрика: (1)

Позначивши через і поверхневі густини зарядів пластин і зв'язаних зарядів відповідно, використаємо рівняння напруженості поля плоского конденсатора:

; , (2)

де – електрична стала.

Підставимо значення і з рівнянь (2) в (1):

. (3)

Оскільки напруженість поля двох різнойменних заряджених площин (поле плоского конденсатора):

,

то ,

де – відносна діелектрична проникність середовища.

Підставивши це значення в рівняння (3) і розв’язавши його відносно , отримаємо:

(4)

У рівняння (4) слід підставити значення , отримане з умови однорідності поля.

Враховуючи, що , запишемо результат підстановки у формі:

.

Від’ємний знак відповідає тій обставині, що кожен зв'язаний заряд дотикається до заряду пластини протилежного знака.

Обчислення:

.

Відповідь: густина зв’язних зарядів дорівнює .

4.5. Всередині плоского конденсатора з площею пластин і

відстанню між ними , зарядженого до напруги , знаходиться скло, яке повністю заповнює простір між електродами. Знайти приріст енергії конденсатора, що виникає при видаленні пластини. Зробити розрахунок для двох умов: а) за допомогою джерела струму на електродах підтримується незмінна напруга, б) електроди відключені від джерела струму до видалення пластини.

Дано:	Аналіз Попередньо обрахуємо енергію зарядженого конденсатора зі скляним діелектриком: , (1) де – ємність конденсатора. Підставляємо значення: , (2)

отримаємо:

;

а) якщо напруга залишається незмінною, то при видаленні скла енергія конденсатора стає рівною:

.

Віднімаючи звідси енергію отримаємо:

.

Обчислення:

.

б) Якщо конденсатор відключений від джерела струму до видалення скляної пластинки, то різниця потенціалів після видалення діелектрика зміниться. Однак у цьому випадку залишиться незмінним заряд обкладинок, який може бути обчислений із співвідношення:

. (3)

Енергію конденсатора після видалення діелектрика доцільно визначити з рівняння:

, (4)

де ємність

. (5)

З рівнянь (2), (3), (4), (5) отримаємо:

.

Віднімаючи звідси , знайдемо приріст енергії:

.

Обчислення:

.

Відповідь: приріст енергії конденсатора, що виникає при видаленні пластини: а) ; б) .

4.6. На кінцях залізного провідника довжиною з діаметром ввімкненого в коло, напруга рівномірно зростає від до за . Визначити кількість заряду, що пройшов за цей час через провідник.

Дано:	Аналіз Внаслідок зміни напруги буде змінюватися сила струму . Як відомо: , звідки . (1)
- ?

Оскільки умовами задачі задана напруга, а не сила струму, проведемо в рівнянні заміну:

,

тоді

. (2)

Опір провідника дорівнює:

.

Так як

,

то . (3)

За умовою задачі залежність напруги від часу можна виразити таким рівнянням:

, (4)

в якому постійну можна визначити, якщо прийняти при :

. (5)

Підставивши в рівняння (2) функцію з рівняння (4) проведемо інтегрування:

.

Підставимо сюди значення і з рівняння (5) і (3) відповідно, отримаємо:

.

Обчислення:

.

Відповідь: заряд, що пройшов через провідник, дорівнює .

4.7. Три гальванічні елементи з електрорушійними силами , і та з внутрішніми опорами відповідно , і з’єднані однойменними полюсами. Визначити силу струму, що пройде через кожний елемент.

Дано:	А наліз Так як напрям струму в кожному з елементів нам невідомий, припустимо, що вони скрізь співпадають з напрямом е.р.с. Застосуємо другий закон Кірхгофа до контурів і :
–? –? –?

, (1)

, (2)

і перший закон Кірхгофа до будь-якого з вузлів:

. (3)

З рівнянь (2) і (3):

;

. (4)

З рівнянь (1) і (4) отримаємо:

.

Обчислення:

;

;

.

Суть від’ємного значення полягає в тому, що струм через третій елемент іде в напрямку протилежному тому, який вказано стрілкою на рисунку, тобто в напрямку .

Відповідь: сила струму, що йде через кожний елемент дорівнює , , .

4.8. При нікелюванні виробу його поверхня покривається шаром нікелю товщиною . Визначити середню густину струму, якщо нікелювання тривало години.

Дано:	СІ	Аналіз Із формули об’єднаного закону Фарадея вираз для величини заряду, що пройшов через електроліт: де – маса елемента, що виділяється на електроді, – його
–?

валентність, – атомна маса, – число Фарадея.

Підставивши сюди

,

де – густина нікелю, – площа поверхні, що нікелюється, отримаємо:

,

звідки

.

Обчислення:

.

Відповідь: середня густина струму дорівнює .

4.9. Два паралельних нескінченно довгих провідника, по яким в одному напрямі проходять струми по , розташовані на відстані один від одного. Визначити напруженість магнітного поля в точці, що знаходиться на відстані від одного провідника і від другого.

Дано:	СІ	А наліз

Для знаходження напруженості магнітного поля у вказаній точці визначаємо напрями векторів напруженості і полів, які створюються кожним провідником окремо, та додамо їх геометрично (за правилом паралелограма), тобто:

.

Числове значення напруженості може бути знайдено за теоремою косинусів:

, (1)

де – кут між векторами і .

Значення напруженостей і виражаємо відповідно через силу струму та відстані і від провідників до точки :

, . (2)

Підставимо вирази (2) у вираз (1) та винесемо за знак кореня, отримаємо:

. (3)

Обчислимо . Зауважимо, що кут між векторами і дорівнює куту у трикутнику, утвореному струмами (точки і )та точкою . (як кути з відповідно перпендикулярними сторонами). Тому за теоремою косинусів запишемо:

,

де – відстань між провідниками. Звідси:

.

Обчислення:

,

.

Відповідь: напруженість магнітного поля .

4.10. Визначити напруженість магнітного поля , що створюється відрізком нескінченно довгого прямого провідника в точці, рівновіддаленій від кінців відрізка та на відстані від його середини. Сила струму, що протікає по провіднику, , довжина відрізка .

Дано:	СІ	Аналіз Для визначення напруженості магнітного поля, що створюється відрізком провідника, скористаємось законом Біо-Савара-Лапласа , (1)

д е – відстань від середини елемента провідника до точки , – кут між напрямом струму в елементі провідника і напрямом радіус-вектора . Радіус-вектор напрямлений від елемента провідника до точки, в якій обчислюється напруженість поля.

Виразимо і :

;

.

Підставивши ці співвідношення у вираз (1), отримаємо:

.

Проінтегруємо цей вираз:

.

Оскільки точка симетрична відносно відрізка провідника, то

.

З урахуванням цього

.

Із малюнка:

.

Остаточно

.

Обчислення:

.

Відповідь: напруженість магнітного поля в точці : .

4.11. Після проходження прискорюючої різниці потенціалів електрон потрапляє в однорідне магнітне поле напруженістю . Визначити радіус кривизни траєкторії і частоту обертання електрона в магнітному полі. Вектор швидкості перпендикулярний лініям поля.

Дано:	Аналіз Радіус кривизни траєкторії електрона визначаємо із наступних міркувань: на рухомий в магнітному полі електрон діє сила Лоренца (дією сили тяжіння можна знехтувати, оскільки вона за порядком набагато менша). Оскільки сила Лоренца перпендикулярна до вектора швидкості, то

, або , (1)

де – заряд електрона, – його швидкість, – індукція магнітного поля, – маса електрона, – радіус кривизни траєкторії, – кут між напрямами вектора швидкості і вектора індукції . В нашому випадку , тому .

Із формули (1) визначаємо :

.

У цьому виразі імпульс можна знайти через кінетичну енергію електрона, а вона, в свою чергу, визначається через прискорюючу напругу :

, ,

тоді

.

Індукція і напруженість магнітного поля у вакуумі пов’язані співвідношенням:

,

де – магнітна стала. Остаточно маємо:

.

Частота визначається через швидкість і радіус:

, або .

Обчислення:

.

.

Відповідь: радіус кривизни траєкторії , частота обертання .

4.12. В однорідному магнітному полі з індукцією рівномірно обертається рамка, яка має витків. Площа рамки . Рамка здійснює . Визначте миттєве значення е.р.с., яке відповідає куту повороту рамки в .

Дано:	СІ	Аналіз При обертанні рамки в магнітному полі, в кожному її витку виникає е.р.с. індукції . Оскільки рамка містить витків, то в ній виникає е.р.с:

. (1)

З нак мінус у цих виразах вказує напрям е.р.с. індукції за правилом Ленца: індукційний струм напрямлений так, що викликає протидію тому струму, який його викликав.

При обертанні рамки магнітний потік , який пронизує рамку в момент часу , змінюється за законом:, де – магнітна індукція, – площа рамки, – кут повороту рамки, який залежить від частоти обертання: .

Підставимо вираз для та у вираз (1) та про диференціюємо по , отримаємо:

.

Обчислення:

.

Відповідь: миттєве значення е.р.с.

4.13. На залізний стержень довжиною і перерізом намотаний в один шар дріт так, що кожен сантиметр довжини стержня містить витків. Визначте енергію магнітного поля в осерді соленоїда, якщо сила струму в обмотці .

Дано:	СІ	Аналіз Енергія магнітного поля соленоїда з індукцією , по обмотці якого протікає струм , виражається: .

Індуктивність соленоїда залежить від числа витків, що припадають на одиницю довжини , від об’єму осердя і від магнітної проникності осердя:

,

де – магнітна стала.

Магнітну проникність виразимо із співвідношення між індукцією і напруженістю магнітного поля:

,

звідки .

Залежність між і задається графічно:

Тоді енергія виражається:

.

Врахувавши, що , остаточно отримаємо:

.

Напруженість магнітного поля соленоїда можна знайти за формулою :

.

Обчислимо:

.

За графіком знаходимо, що значенню напруженості в залізі відповідає індукція, що дорівнює .

Отримані значення підставимо у формулу для енергії та проведемо обчислення.

Обчислення:

.

Відповідь: енергія магнітного поля в осерді соленоїда

4.14. Максимальна напруга в коливальному контурі, що складається із котушки індуктивності і конденсатора ємністю , рівна , активний опір котушки достатньо малий. Знайти максимальне значення магнітного потоку через площу окремого витка, якщо число витків котушки .

Дано:	СІ	Аналіз В ідеальному коливальному контурі напруга на обкладках конденсатора і сила струму в котушці змінюється за гармонічним законом, але із зсувом по фазі на . Якщо на момент часу конденсатор повністю заряджений, то:

,

.

Оскільки

, а ,

то

,

тому

.

Магнітний потік, що пронизує кожен виток котушки, і струм пов’язані співвідношенням:

,

отже максимальне значення потоку:

.

Циклічна частота виражається через ємність конденсатора і індуктивність котушки :

,

тому

.

Обчислення:

.

Відповідь: максимальний магнітний потік, що пронизує кожен виток котушки .

4.15. У колі змінного струму послідовно з’єднані котушка з активним опором і індуктивністю та конденсатор ємністю , яка може змінюватись. При якому значенні ємності потужність струму в колі буде максимальною? Визначити цю потужність.

Дано:	Аналіз Потужність в колі змінного струму визначається через діюче значення сили струму, . В свою чергу за законом Ома для змінного струму:

,

де – повний опір кола ,

,

а діючі значення струму і напруги та їх максимальні значення пов’язані як ; . Тоді формула для потужності матиме такий вигляд:

.

Максимальне значення потужності буде досягатись, коли реактивна складова опору:

, тобто при .

У цьому випадку:

.

Відповідь: максимальна потужність при ємності .

4.16. Коливальний контур, налаштований на довжину хвилі , має індуктивність та активний опір . На скільки відсотків зменшиться енергія цього контуру за час одного коливання? (На протязі одного коливання струм можна вважати синусоїдальним).

Дано:	Аналіз Нехай у початковий момент конденсатор цього контуру заряджений до напруги Тоді початкова енергія контуру: . Втрати енергії за час одного коливання ,

де ­– діюче значення струму, – період коливань.

Вважаючи в межах одного періоду коливання синусоїдальними:

,

де – максимальне значення напруги на конденсаторі. Підставимо вираз для у вираз для :

,

врахувавши, що :

.

Тоді .

Період коливань пов’язаний з довжиною хвилі і швидкістю поширення електромагнітних хвиль :

.

Остаточно матимемо:

.

Обчислення:

.

Відповідь: за один період енергія зменшиться на .