Задания для самостоятельного решения.

1.Вычислите пределы.

2. Исследуйте на непрерывность функции в точке , в точке .

Контрольное задание.

1. Вычислите пределы.

2. Для заданных функций найдите точки разрыва и исследуйте их характер.

3. Исследуйте на непрерывность функции.

Раздел 2. Производная и ее приложения.

2.1.Производная.

Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, работа есть изменение энергии, а средняя скорость – это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение и т.д.

При сравнении значения функции в некоторой фиксированной точке со значением этой функции в различных точках , лежащих в окрестности , удобно выражать разность через разность , пользуясь понятием «приращение аргумента» и «приращение функции». Объясним их смысл.

Пусть - произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки . Разность называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке и обозначается . Таким образом, , откуда следует, что .

Говорят также, что первоначальное значение аргумента получило приращение . Вследствие этого значение функции изменится на величину

.

Эта разность называется приращением функции в точке , соответствующим приращению , и обозначается символом (читается «дельта эф»), т.е. по определению ,

откуда .

Обратите внимание: при фиксированном приращение есть функция от .

• Производной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента при условии, что , т.е. .

О

y

перацию отыскания производной некоторой функции называют дифференцированием функции.

Рисунок 4

Если функция имеет производную в точке , то говорят, что она дифференцируема в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке данного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке.

Пример 9. Найти производную функции

Решение. Будем действовать по описанной выше схеме. 1. 2. 3.

Следовательно,

2.2. Правила вычисления производных.

Выведем несколько правил вычисления производных. В этом пункте значения функций и и их производных в точке обозначают для краткости так: .

Правило1. Если функции и дифференцируемы в точке , то их сумма дифференцируема в этой точке и . Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.

Для доказательства вычислим сначала приращение суммы функций в рассматриваемой точке: 1) ; 2) ; 3)Функции и дифференцируемы в точке , т.е. при имеем , тогда .

Правило 2. Если функции и дифференцируемы в точке , то их произведение дифференцируемо в этой точке и .

1) Для доказательства найдем сначала приращение произведения:

2) ,

3) В силу дифференцируемости функций и в точке при имеем: , тогда , т.е. , что и требовалось доказать.

Следствие. Если функция дифференцируема в точке , а С – постоянная, то функция С дифференцируема в этой точке и . Кратко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Правило 3. и дифференцируемы в точке и функция не равна нулю в этой точке, то частное также дифференцируемо в и .

Пользуясь определением производной можно вывести формулы для нахождения производных элементарных функций. Данные формулы представлены в следующей таблице.

Таблица производных.

1	, где С- постоянное число.	10
2		11
3		12
4		13
5		14
6		15
7		16
8		17
9		18

Пример 10. Найти производную функции .

Решение. .

По формулам (3,5,6) таблицы 1 получим: .

Пример 11. Найти производную функции .

Решение.

Вводя дробные и отрицательные показатели , преобразуем данную функцию: .

Применяя формулы (5) и (6) получим : .

.

Пример 12. Найти , если .

Решение. По формулам (4) и (6) получим: . .