2.10.3. Условия выпуклости и точки перегиба графика функции.
Пусть функция имеет на некотором промежутке две производные. Тогда возможно провести более глубокое исследование ее поведения, чем это осуществимо с помощью первой производной.
Г
рафик
функции
имеет на интервале
выпуклость,
направленную вниз (вогнутость), если
он расположен не ниже любых касательных,
проведенных к графику функции.
Рисунок 9
В
ыпуклость
вверх будет, если график функции
на этом интервале расположен не выше
любых касательных, проведенных к графику
функции.
Рисунок 10
Теорема. Если функция имеет на интервале вторую производную и она положительна , то функция вогнута на этом интервале. Если же вторая производная отрицательна на интервале , то функция выпукла на этом интервале.
Точка перегиба графика непрерывной функции -эта точка при переходе через которую функция меняет направление выпуклости.
Теорема (необходимое
условие существования точки перегиба).
Если
является точкой перегиба функции
,
то,
.
Теорема (достаточное
условие существовании я точки перегиба).
Пусть функция
имеет вторую производную в окрестности
точки
.
Эта точка
является
точкой перегиба функции, если при
переходе через нее вторая производная
меняет
знак.
Из признака
существования точки перегиба следует
правило ее нахождения:
- Найти вторую
производную исследуемой функции;
-
Найти те значения
,
при которых вторая производная равна
нулю, т.е. решить уравнение
.
Эти точки принято называть критическими
точками функции II
рода.
- Устанавливают знаки второй
производной функции при переходе через
критические точки II
рода. Изменение знака
указывает на наличие точки перегиба,
-
Найти ординаты точки перегиба.
Пример 26.
Найти интервалы выпуклости и точки
перегиба графика функции
Решение.
Найдем
-
На интервале
,
следовательно, функция
выпукла
вниз на этом интервале;
- На интервале
и ,следовательно, функция
выпукла вверх;
- На интервале
, следовательно, функция
выпукла
вниз на этом интервале.
- Рассмотрим
точку
.
При переходе через нее
меняет знак. Следовательно,
-
это точка перегиба данной функции.
-
Рассмотрим точку
.
Вторая производная
также меняет знак. Точка
-
точка перегиба данной функции.
2.10.4.Асимптоты графика функции.
Асимптоты – это прямые, к которым неограниченно приближается график функции.
Некоторая прямая называется асимптотой к графику функции , если расстояние между точкой Р этого графика и данной прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки Р от начала координат.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Вертикальная асимптота графика функции - это прямая , если хотя бы одно из предельных значений
или
равно
или
,
или
.
Обычно эти асимптоты сопровождают точки разрыва второго рода. И если функция непрерывна, то вертикальных асимптот нет.
Наклонная асимптота графика функции - это прямая
при
,
если
можно
представить в виде
,
где
при
.В случае горизонтальной асимптоты
Для нахождения
коэффициентов
и
в
уравнении разделим обе части равенства(*)
на
и перейдем к пределу при
.
или
Найдем
из
равенства (*):
или
Пример 27.
Найти асимптоты графика функции
Решение.
-
точка разрыва второго рода:
Это
вертикальная асимптота:
Составим
уравнение наклонной асимптоты.
Уравнение
наклонной асимптоты имеет вид :
.