§2.6. Розкладання вектора за базисом. Лінійна незалежність векторів

Візьмемо множину векторів, які лежать на одній прямій. Очевидно, для будь-яких двох з них виконується умова , де . Тоді беручи за основу (базис) один з них, скажімо, , усі інші вектори можна виразити через за допомогою операції множення на деякий скаляр.

Рис. 2.6

Далі візьмемо три вектори , які паралельні одній площині (компланарні вектори), причому і не паралельні один одному. В даному випадку, беручи за базис і , вектор можна подати через вектори базису (рис. 2.6), тобто записати

де .

Останнє співвідношення називають розкладанням вектора за даним базисом. Можна показати, що цей розклад єдиний. Отже, базис на площині – це два довільні неколінеарні вектори.

Аналогічно, в просторі, беручи за базис три довільні некомпланарні вектори , будь-який вектор можна подати у вигляді

при цьому скаляри називаються координатами, а вектори – компонентами вектора у базисі .

Наведемо більш загальні означення й міркування.

Визначення. Вектори , називаються лінійно залежними, якщо існують такі дійсні одночасно не рівні нулю, що

(2.5)

Визначення. Ці самі вектори називаються лінійно незалежними, якщо (2.5) справедливо лише за умови .

Визначення. Вектор називається лінійною комбінацією векторів якщо існують одночасно ненульові ,а такі, що

Теорема. Якщо вектори лінійно залежні, то принаймі один з них можна подати у вигляді лінійної комбінації інших (і навпаки).

Приклад 2.1. Показати, що вектори , , утворюють базис у тривимірному простору. Знайти компоненти вектора у цьому базисі.

Розв’язування. За визначенням три вектори тривимірного простору утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні, тобто, якщо з рівності нулю їх лінійної комбінації

(2.6)