§1.6. Матричний запис системи лінійних рівнянь і її розв’язування

Нехай задано систему (1.7), яка містить лінійних рівнянь з невідомими.

Введемо матриці

; ; .

Матрицю , складену з коефіцієнтів системи (1.7), називають основною матрицею системи, матрицю-стовпець – матрицею невідомих, а матрицю-стовпець – матрицею вільних членів.

Тоді згідно з правилом множення матриць систему (1.7) можна записати одним матричним рівнянням з невідомою матрицею :

. (1.8)

Припустимо, що матриця має обернену матрицю . Помножимо обидві частини рівності (1.8) на зліва:

.

Оскільки і , то

(1.9)

Отже, щоб розв’язати систему рівнянь (1.7), досить знайти матрицю, обернену до матриці системи, і помножити її справа на матрицю з вільних членів.

Формулу (1.9) називають матричним записом розв’язку системи (1.7).

Зауважимо, що розв’язок системи рівнянь у матричній формі можливий лише тоді, коли матриця системи квадратна і невироджена.

Приклад 1.7. Розв’язати систему рівнянь

.

Розв’язування.

Маємо

; ; ; .

За формулою (1.9) знаходимо

.

Отже, , , .

§1.7. Розв’язування систем лінійних рівнянь за методом Гаусса

Метод послідовного виключення невідомих, запропонований Гауссом, розглянемо на прикладі системи m рівнянь з n невідомими:

Над системами лінійних рівнянь можна виконувати такі елементарні перетворення:

• множення деякого рівняння на відмінне від нуля число;

• додавання до деякого рівняння системи іншого рівняння, помноженого на деяке число;

• перестановку рівнянь.

Ці перетворення не порушують рівносильності системи.

За допомогою другого перетворення можна з усіх рівнянь, крім першого, вилучити х₁ (за умови, що а₁₁  0; якщо а₁₁ = 0, то на місце першого рівняння потрібно перемістити інше рівняння, в якому коефіцієнт при х₁ не дорівнює нулю). Далі з усіх рівнянь, крім перших двох, вилучимо х₂ і т. д.

В результаті одержимо так звану трапецієподібну систему

(1.10)

або систему трикутного вигляду

(1.11)

Система (1.11) має єдиний розв’язок і розв’язується, починаючи з останнього рівняння.

Система (1.10), у якій серед є принаймні одне число, відмінне від нуля, несумісна.

Якщо ж у системі (1.10) d_r+1 = d_r+2 =…= d_m = 0, система сумісна і невизначена, тобто вона має безліч розв’язків.

При розв’язуванні системи лінійних рівнянь методом Гауcса зручніше приводити до трикутного чи трапецієподібного вигляду не саму систему рівнянь, а розширену матрицю цієї системи, тобто матрицю, утворену приєднанням до матриці її коефіцієнтів стовпця вільних членів.

Приклад 1.8. Розв’язати системи рівнянь методом Гауcса:

а) б) в)

Розв’язування.

а) Виконуємо елементарні перетворення над рядками розширеної матриці даної системи (позначатимемо це символом ):

.

Таким чином, задана система еквівалентна системі

і має єдиний розв’язок: , , .

б) Маємо

.

Отже, задана система еквівалентна системі

В останньому рівнянні вільний член дорівнює двом, а коефіцієнти при невідомих дорівнюють нулю (тобто 0=2), тому система несумісна.

в) Маємо

.

Отже, задана система еквівалентна системі трапецієподібного вигляду

і має безліч розв’язків. З останньої системи знаходимо , , , де – довільне число .