Будь-якій квадратній матриці

можна поставити у відповідність певне число, яке називається визначником цієї матриці і позначається символом det A:

Прямокутна матриця визначника не має.

Рангом матриці А називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля, (позначається ). Якщо всі елементи матриці то .

Крім безпосереднього обчислення мінорів, ранг матриці можна знайти простішим методом, який ґрунтується на тому, що ранг матриці не зміниться, якщо над матрицею виконати так звані елементарні перетворення, а саме:

• замінити рядки стовпцями (при цьому стовпці заміняються відповідними рядками);

• переставити місцями два рядки (стовпці);

• помножити кожен елемент рядка (стовпця) на один і той самий відмінний від нуля множник;

• викреслити рядок (стовпець), всі елементи якого дорівнюють нулеві;

• додати до елементів рядка (стовпця) відповідні елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне і те саме число.

Всі ці перетворення не змінюють ранг матриці, але з їх допомогою матрицю зводять до матриці, у якої нижче головної діагоналі всі елементи – нулі. Тоді ранг матриці дорівнює кількості елементів головної діагоналі, відмінних від нуля.

Приклад 1.4. Знайти матрицю , якщо

, .

Розв’язування.

Кількість стовпців матриці дорівнює кількості рядків матриці , тому за означенням маємо

.

Приклад 1.5. Знайти ранг матриці

.

Розв’язування.



Віднімаючи від третього рядка 2-й, а від 4-го перший, дістанемо:

 

Від другого рядка віднімемо потроєний перший:

 

Від четвертого рядка віднімемо другий:

 

Від четвертого віднімемо третій:

 .

Отже, .

(Знак ~ між матрицями показує, що вони утворюються одна з другої елементарними перетвореннями і, отже, мають один і той самий ранг).

§1.4. Обернена матриця

Нехай – деяка квадратна матриця -го порядку.

Матриця називається оберненою до матриці , якщо виконується умова

,

де – одинична матриця.

Квадратна матриця називається виродженою, якщо й невиродженою, якщо .

Теорема. Для існування оберненої матриці необхідно і достатньо, щоб матриця була невиродженою.

Обернена матриця знаходиться за формулою

, (1.6)

де – алгебраїчні доповнення елементів визначника матриці .

Приклад 1.6. Знайти матрицю , обернену до матриці

.

Розв’язування. Обчислимо визначник матриці :

.

Матриця невироджена, тому обернена матриця знаходиться за формулою (1.6). Знаходимо алгебраїчні доповнення всіх елементів даної матриці:

; ;

;

;

Складемо обернену матрицю

.

§1.5. Системи лінійних рівнянь

Системою m лінійних рівнянь з n невідомими називається система виду

(1.7)

де – коефіцієнти, – вільні члени, – невідомі, .

Розв’язком системи лінійних рівнянь називається впорядкована сукупність n чисел (x₁, x₂, … , x_n), які при підстановці в систему (1.7) як невідомі, перетворюють усі рівняння в тотожності.

Система рівнянь (1.7) називається однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю, і неоднорідною, якщо хоч один з них відмінний від нуля.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо вона має безліч розв’язків.

Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо вони мають одну й ту ж множину розв’язків.