VIII. Розв’язати задачу.

1. Довести, що .

2. Довести таке: якщо , то .

3. Дано трикутник АВС, у якому . Виразити через і вектори, що збігаються з медіанами трикутника.

4. Довести, що сума векторів, які з’єднують центр ваги трикутника з його вершинами – нульовий вектор.

5. Дано точки А, В, С, D. Точки М і N – середина відрізка АС і ВD.

Довести, що .

6. Знайдіть кут між векторами і , якщо , .

7. Точки К і М – середина сторін АВ і АD паралелограма АВСD. Знайти , якщо .

8. Який кут утворюють одиничні вектори і , якщо відомо, що вектори й перпендикулярні.

9. Знайти , якщо , , .

10. При якому значені α вектори та будуть перпендикулярні, якщо і .

11. Відомо: . Знайти довжину діагоналей паралелограма, побудованого на векторах і .

12. Дано: , , . Знайти .

13. Дано: , , . Знайти .

14. Вектори і , перпендикулярні; , . Знайти , .

15. У рівнобічній трапеції АВСD нижня основа , бічна сторона , кут між ними 60⁰. Виразити через вектори і вектори .

16. Обчислити тупий кут, утворений медіанами рівнобічного прямокутного трикутника, що проведені з вершин гострих кутів.

17. У трикутнику АВС т. D поділяє ВС у відношенні . Виразити вектор через вектори і .

18. Довести, що чотири точки А (1, 0, 1); В (4, 4, 6); С (2, 2, 3) і D (10, 14, 17) лежать в одній площині.

19. Спростити .

20. Довести тотожність .

21. Встановити компланарність векторів .

22. Довести, що .

23. Довести, що .

24. Дано вектори . Побудувати вектори і .

25. Знайти четверту вершину паралелограма, якщо дано три вершини А (1, 2, 4); В (3, 5, 5); С (2, -1, 3).

26. Відома вершина трикутника А (2, -6, 3) і вектори, які збігаються зі сторонами і . Знайти останні вершини і вектор .

27. Дано: . Знайти .

28. Дано вершини паралелепіпеда А (3, 0, 2), В (2, 4, 5), А₁ (5, 3, 1) і D₁ (7, -1, 2). Знайти координати інших вершин.

29. Спростити , якщо ,

.

Іх. Закони попиту та пропозицій на деякий товар задані рівняннями

S: p = ax + b

D: p = cx + d.

1. Знайти точку ринкової рівноваги та точку рівноваги після введення податку, рівного t. Побудувати графіки.

2. Знайти збільшення ціни та зменшення рівновагового об’єму продажу.

3. Яка субсидія приведе до збільшення об’єму продажу на k одиниць?

4. Уведено пропорційний податок, який дорівнює m%. Знайти нову точку рівноваги і прибуток уряду.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. 

14.

15.

16. 

17.

18.

19. 

20.

21.

22. 

23.

24.

25. 

26.

27.