Підставимо координати вершин :

.

Таким чином., рівняння площини

.

7) Кут між ребром та гранню знаходимо за формулою

.

Тут m, n, p – координати вектора , а А, В, С – координати напрямного вектора площини (це коефіцієнти відповідно при x, y, z у рівнянні цієї площини)

.

Звідси .

8) Координати основи висоти, опущеної з вершини на грань , знайдемо як точку Р перетину прямої та площини. Знаходимо рівняння висоти. За напрямний вектор її візьмемо вектор площини , що має координати . Тоді рівняння висоти буде:

.

Запишемо його у параметричній формі

.

Приєднаємо до них рівняння площини і отримаємо систему чотирьох рівнянь з чотирма невідомими х, у, z, t

.

Розв’язуємо її. Підставимо х, у, z з параметричних рівнянь прямої в рівняння площини і знайдемо параметр t: t + 6 + t + 16 = 0. Тоді t = -11.

Підставимо t = -11 в параметричне рівняння лінії і знайдемо шукані х, у, z : х = -8, у = -5, z = 11.

Таким чином точка Р має координати (-8, -5, 11).

8. Обчислити

, якщо

і .

Розв’язування.

9. Закони попиту та пропозицій на деякий товар задані рівняннями

р = - 2х + 12,

р = х + 3.

а) Знайти точку ринкової рівноваги.

б) Знайти точку рівноваги після введення податку, який дорівнює 3. Знайти збільшення ціни та зменшення рівноважного об’єму продажу.

в) Яка субсидія призведе до збільшення об’єму продажу на 2 одиниці.

г) Вводиться пропорційний податок, який дорівнює 20 %. Знайти нову точку рівноваги і прибуток уряду.

Розв’язок. а) Знаходимо точку рівноваги М:

Точка М (3, 6) являється точкою рівноваги (рис.).

б) Якщо уведений податок t = 3, то система рівнянь для визначення нової точки рівноваги прийме вигляд

Використовуючи співвідношення між ціною на ринку та ціною , одержуваною постачальниками, маємо наступну систему для визначення точки ринкової рівноваги:

Розв’язуючи цю систему, отримуємо нову точку рівноваги . Отже, після введення податку рівноважна ціна збільшилася на 2 одиниці, а рівноважний об’єм зменшився на 1 одиницю.

в) Якщо надана субсидія, то система рівнянь для визначення точки рівноваги має вид

Новий об’єм продажу дорівнює 5 одиницям (3 + 2). Підставляючи х = 5 в систему, знаходимо:

г) Якщо податок становить 20%, то вся риночка ціна становить 120%, із них 100% отримують постачальники товару, 20% - держава. Отже, постачальники отримують

Рівняння попиту залишається, а в рівнянні пропозиції представляємо :

Розв’язуючи цю систему, знаходимо нову точку рівноваги :

Очевидно, що прибуток уряду R дорівнює площі заштрихованого прямокутника (див. рис.):

Додаток 2

Варіанти розрахункового завдання № 1

І. Перевірити, що вектори-рядки вартості утворюють базис, і знайти координати вектора в цьому базисі.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. .

ІІ. Маємо систему лінійних рівнянь, яка описує виробничі взаємні зв’язки підприємства, де – вектор-рядок валового випуску продукції філіалів підприємства. Розв’язати її за матричним методом, за методом Гауса, визначити ранг системи.

1. 10. 19.

2. 11. 20.

3. 12. 21.

4. 13. 22.

5. 14. 23.

6. 15. 24.

7. 16. 25.

8. 17. 26.

9. 18. 27.

ІІІ. Нехай задана матриця норм витрати сировини, палива та трудових ресурсів автотранспортного відділу підприємства. Знайти власні числа та власні вектори матриці:

1. 10. 19.

2. 11. 20.

3. 12. 21.

4. 13. 22.

5. 14. 23.

6. 15. 24.

7. 16. 25.

8. 17. 26.

9. 18. 27.

ІV. Маємо координати вершин деякого трикутника АВС. Треба:

1. скласти рівняння лінії ВС;

2. рівняння висоти АD, проведеної з вершини А;

3. обчислити довжину висоти, проведеної з вершини А;

4. знайти координати центра ваги трикутника;

5. обчислити кут В (у радіанах з точністю до двох знаків).

1. А (1; 3); В (4; 5); С (6; 0).

2. А (-8; 0); В (0; 3); С (4; -1).

3. А (-3; -3); В (-1; 3); С (2; 0).

4. А (-5; 1); В (2; 2); С (1; -4).

5. А (-4; 6); В (0; 1); С (2; 6).

6. А (-5; -2); В (1; 3); С (4; -1).

7. А (-3; 1); В (2; 5); С (6; -2).

8. А (-4; 0); В (2; 3); С (5; -1).

9. А (0; -3); В (-3;2); С (6; 1).

10. А (-2; 3); В (1; 6); С (4; -2).

11. А (-4; 3); В (1; -3); С (7; 2).

12. А (-3; -4); В (1; 4); С (5; 0).

13. А (-2; -3); В (2; 3); С (3; 1).

14. А (3; 3); В (2; -2); С (-6; 0).

15. А (-1; 3); В (2; -3); С (4; 2).

16. А (-2; 5); В (0; -8); С (2; 2).

17. А (-3; -2); В (1; -6); С (4; 0).

18. А (-2; 1); В (5; -1); С (7; 4).

19. А (-3; 0); В (2; -4); С (4; 3).

20. А (-3; 3); В (3; -3); С (8; 5).

21. А (1; 5); В (-4; 0); С (6; 3).

22. А (0; 6); В (8; 1); С (2; -3).

23. А (0; 4); В (6; 0); С (2; -4).

24. А (2; 8); В (5; 0); С (-3; -2).

25. А (3; 6); В (-4; 0); С (3; -2).

26. А (-1; 2); В (5; 5); С (9; 0).

27. А (2; 6); В (-2; -4); С (-4; 4).

V. Розв’язати завдання та виконати рисунок.

1. Скласти рівняння гіперболи та її асимптот, якщо відомо, що гіпербола симетрична відносно осей координат, один з її фокусів збігається з центром кола , а ексцентриситет дорівнює 1,25.

2. Знайти відстань фокуса гіперболи , абсциса якого додатна, від діагоналей прямокутника з вершинами у точках перетину гіперболи з еліпсом .

3. Скласти рівняння параболи та її директриси, якщо парабола проходить через точки перетину прямої у = 2х з колом та вісь Ох є віссю симетрії параболи.

4. Скласти рівняння кола, що проходить через фокуси еліпса і має центр у вершині еліпса, ордината якої від’ємна. Знайти точки перетину цього кола з віссю Оу.

5. Скласти рівняння висот трикутника, що утворений асимптотами гіперболи , та прямою, яка проходить через точки перетину гіперболи з параболою .

6. Скласти рівняння еліпса, симетрично розташованого відносно осей координат, якщо один з його фокусів збігається з фокусом параболи , а відстань однієї з точок до його фокусів дорівнює 4 або 6.

7. Скласти рівняння асимптот гіперболи, обчислити кут між ними та знайти ексцентриситет, якщо фокуси гіперболи розташовані симетрично відносно осей Оу на вісі Ох, та якщо 3а = 2с.

8. Скласти рівняння кола, центр якого знаходиться у правому фокусі еліпса , а радіус дорівнює відстані між директрисами еліпса.

9. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої розташовані у вершинах еліпса , а вершини гіперболи збігаються з фокусами еліпса. Знайти рівняння асимптот та директрис гіперболи.

10. Фокуси еліпса розташовані на осі Ох симетрично відносно початку координат, а один з них збігається з фокусом параболи . Відстані однієї з точок еліпса до фокусів дорівнюють 3 і 7. Скласти рівняння еліпса.

11. Скласти рівняння кола, центр якого знаходиться у точці перетину прямої 2х – 4у + 8 = 0 з віссю ординат, а радіус дорівнює відстані між директрисами еліпса: .

12. Скласти рівняння кола, центр якого збігається з правою вершиною гіперболи , а радіус дорівнює фокусній відстані гіперболи.

13. Скласти рівняння еліпса, симетричного відносно осей координат, фокусна відстань якого дорівнює , а директриси мають рівняння .

14. Знайти канонічне рівняння гіперболи, яка проходить через точку М(-5; 3), а її ексцентриситет дорівнює .

15. Скласти рівняння гіперболи, симетричної відносно осей координат, яка проходить через точку М(-5; 3), а її уявна вісь дорівнює 12. Знайти рівняння асимптот та директрис гіперболи.

16. Скласти рівняння еліпса, симетричного відносно осей координат, правий фокус якого має (2; 0), рівняння директрис . Знайти ексцентриситет еліпса.

17. Скласти рівняння параболи, симетричної відносно вісі абсцис, вершина якої збігається з початком координат, а відстань між її директрисою та фокусом дорівнює ексцентриситету гіперболи .

18. Написати рівняння гіперболи, симетричної відносно осей координат, якщо відомо, що рівняння її асимптот і вона проходить через точку М(8; 5). Знайти ексцентриситет і директриси гіперболи.

19. Скласти рівняння кола, що торкається директриси параболи і має центр у фокусі цієї параболи.

20. Фокуси гіперболи збігаються з фокусами еліпса . Скласти канонічне рівняння гіперболи, визначити її директриси та асимптоти, якщо ексцентриситет гіперболи дорівнює 2.

21. Скласти канонічне рівняння еліпса, симетричного відносно осей координат, якщо відстань точки М(8; 12), що лежить на еліпсі, до першого фокуса дорівнює 20. Знайти ексцентриситет та директриси еліпса.

22. Скласти канонічне рівняння еліпса, симетричного відносно осей координат, якщо, відстань між фокусами дорівнює 4, а відстань між директрисами – 5.

23. Скласти рівняння кола, якщо його центр знаходиться в правому фокусі еліпса , а радіус дорівнює відстані між директрисами еліпса.

24. Написати рівняння параболи, симетричної відносно осі абсцис, фокус якої збігається з фокусом еліпса .

25. Правий фокус еліпса, симетричного відносно осей координат, збігається з фокусом параболи . Відстань однієї з точок еліпса до фокусів дорівнює 3 і 7. Скласти рівняння еліпса, його директрис.

26. Знайти рівняння директриси і асимптот гіперболи, симетричної відносно осей координат, якщо вона проходить через точку М(5; 3) та її уявна піввісь дорівнює 6.

27. Скласти канонічне рівняння гіперболи, симетричної відносно осей координат, яка проходить через точку М(9; 8), а її асимптоти мають рівняння . Знайти ексцентриситет, рівняння директрис гіперболи.

28. Знайти канонічне рівняння еліпса, симетричного відносно осей координат, відстань між фокусами якого дорівнює 2, а між директрисами – 10.

29. Знайти канонічне рівняння еліпса, симетричного відносно осей координат, ексцентриситет якого дорівнює 2/3, а вершини мають координати та .

30. Скласти канонічне рівняння гіперболи, симетричної відносно осей координат, фокусна відстань якої дорівнює 16, а координати вершин (-6; 0) та (6; 0). Знайти рівняння асимптот та директрис.

VI. Привести рівняння до канонічного вигляду, визначити тип ліній. На кресленні зазначити ту частину лінії, яка описується заданим рівнянням.

1. . 15. .

2. . 16. .

3. . 17. .

4. . 18. .

5. . 19. .

6. . 20. .

7. . 21. .

8. . 22. .

9. . 23. .

10. . 24. .

11. . 25. .

12. . 26. .

13. . 27. .

14. .

VII. Надані координати вершин піраміди. Знайти: а) кут між ребрами та ; б) проекцію вектора на вектор ; в) площу грані ; г) об’єм та висоту піраміди з вершиною . Зробити креслення.

1. (3; 2; -1); (-2; -3; 2); (-1; 0; 8); (-3; 4; 1).

2. (4; -2; 0); (2; 5; 2); (-3; -1; -1); (1; -1; 9).

3. (5; -1; 2); (4; 5; 0); (-2; -4; 1); (-1; -1; 6).

4. (6; 1; 5); (-3; 1; 5); (-8; 6; 0); (4; -3; 1).

5. (3; -2; 2); (1; 4; 1); (-1; -3; 3); (0; 0; -4).

6. (-4; 0; 3); (0; 7; 0); (5; 8; -1); (-1; 8; 5).

7. (3; 5; 10); (5; 5; 4); (5; 8; 2); (3; 8; 4).

8. (4; -3; 0); (5; 2; -1); (3; 6; 2); (0; 0; 6).

9. (5; 10; 4); (3; 5; 4); (4; 7; 8); (8; 7; 4).

10. (3; 3; 1); (7; 2; 2); (2; 3; 7); (5; 7; 7).

11. (6; 8; 9); (10; 6; 6); (7; 10; 3); (-2; 8; 2).

12. (4; 6; 11); (6; 6; 5); (6; 9; 3); (4; 9; 5).

13. (3; -3; 3); (0; -1; 7); (1; -4; -1); (3; 3; 8).

14. (-5; 7; 8); (1; 8; 0); (1; 4; 3); (0; -4; 5).

15. (4; 5; 7); (7; 3; 5); (7; 9; 6); (9; 4; 4).

16. (3; 5; 8); (7; 7; 3); (8; 4; 1); (6; 5; 8).

17. (3; 8; 5); (-1; 0; 7); (1; 3; 1); (5; 3; 9).

18. (0; -7; 8); (1; 5; 7); (3; 3; 4); (2; 4; 0).

19. (8; 9; 3); (3; -2; 0); (-5; 5; -1); (5; 2; 4).

20. (4; 2; 0); (-2; 3; 0); (1; 1; 1); (3; -1; 3).

21. (1; 7; 3); (3; 1; 4); (8; 5; 8); (-1; 6; 1).

22. (2; 4; 7); (6; 6; 2); (7; 3; 0); (5; 4; 7).

23. (4; 9; 3); (2; 4; 3); (3; 6; 7); (7; 6; 3).

24. (5; 0; 1); (3; 3; 4); (4; 1; -1); (-1; -1; 0).

25. (3; 2; 2); (-4; 0; 4); (-3; -4; 4); (2; -2; -1).

26. (1; 1; -3); (-1; -4; 3); (-2; 2; 4); (2; -3; -4).

27. (-5; 4; 4); (-4; 0; 6); (-2; -2; 3); (0; 0; -1).