
- •Затверджено науково-методичною радою
- •Розділ 2. Елементи векторної алгебри..........................................21
- •§2.5. Дії над векторами, заданими своїми координатами..............................26
- •§1.1. Визначники. Визначники другого і третього порядків та їх властивості
- •§1.2. Розв’язування системи трьох лінійних рівнянь. Правило Крамера
- •§1.3. Матриці. Основні дії над матрицями. Ранг матриці
- •Будь-якій квадратній матриці
- •§1.4. Обернена матриця
- •§1.5. Системи лінійних рівнянь
- •§1.6. Матричний запис системи лінійних рівнянь і її розв’язування
- •§1.7. Розв’язування систем лінійних рівнянь за методом Гаусса
- •§1.8. Однорідна система лінійних рівнянь
- •§1.9. Критерій сумісності системи лінійних рівнянь. Теорема Кронекера–Капеллі
- •Завдання для самоконтролю
- •Розділ 2. Елементи векторної алгебри
- •§2.1. Скалярні і векторні величини
- •§2.2. Лінійні дії з векторами
- •§2.3. Проекції вектора на вісь
- •§2.4. Розкладання вектора на складові
- •Рівність (2.2) дає розкладання вектора за базисними одиничними векторами, або за ортами і
- •§2.5. Дії над векторами, заданими своїми координатами
- •§2.6. Розкладання вектора за базисом. Лінійна незалежність векторів
- •§2.7. Скалярний добуток векторів
- •§2.8. Вираження скалярного добутку через координати. Кут між векторами
- •§2.9. Векторний добуток двох векторів
- •§2.10. Векторний добуток двох векторів, заданих координатами
- •§2.11. Мішаний добуток векторів
- •Якщо вектори , і задані координатами
- •Завдання для самоконтролю
- •Розділ 3. Аналітична геометрія на площині
- •§3.1. Координати точки на прямій і на площині. Відстань між двома точками
- •§3.2. Полярна система координат
- •§3.3. Різні види рівнянь прямої на площині
- •Нормальне рівняння має вигляд:
- •§3.4. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих. Відстань від точки до прямої
- •§3.5. Коло
- •Властивості еліпса, заданого канонічним рівнянням (3.19) ( ):
- •§3.7. Гіпербола
- •§3.8. Парабола
- •Завдання для самоконтролю
- •Розділ 4. Аналітична геометрія в просторі
- •§4.1. Площина
- •§4.2. Пряма лінія у просторі
- •Нехай пряма задана загальними рівняннями
- •§4.3. Пряма і площина
- •Кут між прямою
- •Завдання для самоконтролю
- •Розділ 5. Застосування аналітичної геометрії в економіці § 5.1. Лінійна модель амортизації
- •§ 5.2. Лінійна модель витрат. Точка незбитковості Під час виробництва х одиниць продукції сукупність витрат с (х) складається з двох доданків – фіксованих (сталих) і змінних витрат:
- •§ 5.3. Закони попиту і пропозицій
- •Вектори утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні, звідси їх лінійна комбінація дорівнює 0 тоді, коли , тобто .
- •Знаходимо :
- •Підставимо координати вершин :
- •Варіанти розрахункового завдання № 1
- •VIII. Розв’язати задачу.
- •Іх. Закони попиту та пропозицій на деякий товар задані рівняннями
- •Література
Державна митна служба України
Академія митної служби України
навчально-методичний посібник
для самостійного вивчення ДИСЦИПЛІНИ
“Вища математика”
Частина І
Затверджено науково-методичною радою
Академії митної служби України
Дніпропетровськ
2005
навчально-методичний посібник
для самостійного вивчення ДИСЦИПЛІНИ
“Вища математика”
за напрямами
“Економіка і підприємництво”,
“Менеджмент”
Частина І
Укладачі: Франко Н.В., к.т.н. доцент кафедри вищої математики та інформатики Академії митної служби України, Говоруха В.Б., к.ф.-м.н. доцент кафедри вищої математики та інформатики Академії митної служби України
Зміст
Передмова............................................................................................................5
Розділ 1. Елементи лінійної алгебри................................................6
§1.1. Визначники. Визначники другого і третього порядків та їх властивості...........................................................................................................6
§1.2. Розв’язування системи трьох лінійних рівнянь. Правило Крамера......8
§1.3. Матриці. Основні дії над матрицями. Ранг матриці...............................9
§1.4. Обернена матриця....................................................................................13
§1.5. Системи лінійних рівнянь........................................................................14
§1.6. Матричний запис системи лінійних рівнянь і її розв’язування...........14
§1.7. Розв’язування систем лінійних рівнянь за методом Гауса...................15
§1.8. Однорідна система лінійних рівнянь......................................................18
§1.9. Критерій сумісності системи лінійних рівнянь. Теорема Кронекера–Капеллі................................................................................................................20
Завдання для самоконтролю.............................................................................20
Розділ 2. Елементи векторної алгебри..........................................21
§2.1. Скалярні і векторні величини..................................................................21
§2.2. Лінійні дії з векторами.............................................................................22
§2.3. Проекції вектора на вісь..........................................................................24
§2.4. Розкладання вектора на складові............................................................24
§2.5. Дії над векторами, заданими своїми координатами..............................26
§2.6. Розкладання вектора за базисом. Лінійна незалежність векторів.......27
§2.7. Скалярний добуток векторів...................................................................29
§2.8. Вираження скалярного добутку через координати. Кут між векторами...........................................................................................................29
§2.9. Векторний добуток двох векторів..........................................................30
§2.10. Векторний добуток двох векторів, заданих координатами................31
§2.11. Мішаний добуток векторів....................................................................31
Завдання для самоконтролю.............................................................................32
РОЗДІЛ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ.............................33
§3.1. Координати точки на прямій і на площині. Відстань між двома точками...............................................................................................................33
§3.2. Полярна система координат....................................................................34
§3.3. Різні види рівнянь прямої на площині....................................................35
§3.4. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих. Відстань від точки до прямої................36
§3.5. Коло...........................................................................................................39
§3.6. Еліпс..........................................................................................................39
§3.7. Гіпербола...................................................................................................41
§3.8. Парабола....................................................................................................43
Завдання для самоконтролю.............................................................................44
РОЗДІЛ 4. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ В ПРОСТОРІ................................46
§4.1. Площина....................................................................................................46
§4.2. Пряма лінія у просторі.............................................................................52
§4.3. Пряма і площина.......................................................................................54
Завдання для самоконтролю.............................................................................56
Розділ 5. Застосування аналітичної геометрії в економіці......................................................................................................57
§ 5.1. Лінійна модель амортизації....................................................................57
§ 5.2. Лінійна модель витрат. Точка незбитковості.......................................57
§ 5.3. Закони попиту і пропозицій...................................................................59
Додатки...............................................................................................................61
Література..........................................................................................................89
Передмова
Навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни “Вища математика” Частина І відповідає програмі курсу “Вища математика” для курсантів-бакалаврів усіх спеціальностей з напрямів ”Економіка і підприємництво”, ”Менеджмент”.
У посібнику (Частина І) наведено короткі теоретичні відомості з розділів “Лінійна алгебра”, “Аналітична геометрія” які проілюстровано прикладами, рисунками, зразками розв’язування типових задач. Кожний розділ містить запитання та задачі для перевірки засвоювання матеріалу.
Обов’язковий елемент посібника – застосування елементів лінійної алгебри та аналітичної геометрії в економічних розрахунках.
Особливістю посібника є наявність завдань для семестрових розрахункових робіт в кількості, достатній для академічних груп, а також приклад розв’язування типового варіанта розрахункової роботи.
Структура посібника дає можливість відпрацьовувати техніку розв’язування задач розрахункових завдань без звертання до додаткової літератури.
Посібник призначено для курсантів денної і заочної форм навчання та викладачів вищих навчальних закладів.
РОЗДІЛ 1. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ