- •Теория вероятностей
- •Содержание
- •Введение
- •Часть 1. Случайные события
- •Комбинаторика
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2 Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности события. Непосредственный подсчет вероятности
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3 Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4 Полная вероятность. Формулы Байеса (Бейеса)
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5 Повторные независимые испытания
- •5.1 Основные формулы
- •5.2 Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях
- •5.3 Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Часть 2. Случайные величины
- •1 Дискретные случайные величины
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2 Непрерывные случайные величины
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3 Частные виды распределений непрерывных случайных величин
- •Нормальное распределение
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.2 Показательное распределение
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.3 Равномерное распределение
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Закон больших чисел
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5 Цепи Маркова
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Список использованной литературы
- •Приложения
- •Задачи для подготовки к контрольной работе №1
- •Задачи для подготовки к контрольной работе №2
- •Дополнительные задачи по курсу теории вероятностей
- •Тесты по теории вероятностей Вариант 0
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вопросы для подготовки к экзамену по теории вероятностей
- •Теория вероятностей
- •426069, Г. Ижевск, ул. Студенческая, 11.
Задачи для аудиторного решения
Электрическая цепь состоит из двух элементов, которые могут выйти из строя независимо друг от друга с вероятностями 0,1 и 0,3. Найти вероятность безотказной работы цепи (рис. 2 и 3).
а )
1 2
Рисунок 2
б ) 1
2
Рисунок 3
Подбрасываются 3 игральных кубика. Какова вероятность, что при одном подбрасывании:
а) на всех кубиках выпадет пять очков;
б) хотя бы на одном кубике выпадет четное число очков?
Имеется три партии изделий. Вероятность того, что изделие из первой партии является бракованным, равна 0,12, из второй партии – 0,16, из третьей партии – 0,23. Контролер отбирает из каждой партии по одному изделию. Найти вероятность того, что среди отобранных изделий будет:
а) три стандартных;
б) только два бракованных;
в) только одно стандартное;
г) не менее двух стандартных;
д) хотя бы одно бракованное.
Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
Слово «МАТЕМАТИКА» составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами тщательно перемешаны. Четыре карточки извлекаются по очереди и раскладываются в ряд. Какова вероятность получить таким путем слово «ТЕМА».
Вероятность только одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?
В круг радиуса R вписан квадрат. Чему равна вероятность того, что поставленные наудачу внутри круга 2 точки окажутся внутри квадрата?
Гардеробщица выдала одновременно номерки четырем лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы. После этого она перепутала все шляпы и повесила их наугад. Найти вероятности следующих событий:
А – каждому из четырех лиц гардеробщица выдаст его собственную шляпу;
В – ровно три лица получат свои шляпы;
С – ровно два лица получат свои шляпы;
D – ровно одно лицо получит свою шляпу;
Е – ни одно из четырех лиц не получит своей шляпы.
В группе 70% хорошистов, из них 30% – отличники. Какова вероятность, что выбранный наудачу студент является отличником?
Задачи для самостоятельного решения
В ящике содержится 9 белых, 6 черных и 5 зеленых шаров. Наудачу вынимается один шар. Найти вероятность того, что он окажется либо черным, либо зеленым.
Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95, второй – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает:
а) только один сигнализатор;
б) оба сигнализатора;
в) хотя бы один сигнализатор.
Имеются две концентрические окружности с радиусами и 1. Наудачу на больший круг ставятся две точки. Какова вероятность, что обе точки попадут в кольцо?
Слово «ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД» составлено из букв-кубиков, рассыпано на отдельные буквы, которые затем перемешаны и сложены в коробке. Из коробки наугад извлекаются одна за другой пять букв. Найти вероятность того, что при этом появится слово «ПАРАД».
В ящике 3 стандартные и 2 нестандартные детали. Наудачу берут 3 детали.
1) Найти вероятность, что среди взятых деталей будет только одна стандартная деталь.
2) Найти вероятность, что среди них есть хотя бы одна стандартная деталь.
Студент, идя на экзамен, не знает одного билета. Что лучше для него: зайти первым или пойти последним, если студентов в группе и билетов 25?
Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах для данного стрелка равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
Вероятность того, что из яйца вылупится молодка, равна 0,5. Сколько надо взять яиц, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0,95 можно было утверждать, что по крайней мере из одного яйца вылупится молодка?
Из колоды в 36 карт вынимаются 3 карты. Найти вероятность следующих событий:
а) среди них окажется хотя бы один туз;
б) все 3 карты будут червонной масти;
в) все 3 карты одной масти;
г) все 3 карты разной масти?
Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.
Два игрока поочередно извлекают шары (без возвращения) из урны, содержащей 1 белый и 4 черных шара. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Найти вероятность выигрыша первого участника.