- •Теория вероятностей
- •Содержание
- •Введение
- •Часть 1. Случайные события
- •Комбинаторика
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2 Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности события. Непосредственный подсчет вероятности
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3 Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4 Полная вероятность. Формулы Байеса (Бейеса)
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5 Повторные независимые испытания
- •5.1 Основные формулы
- •5.2 Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях
- •5.3 Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Часть 2. Случайные величины
- •1 Дискретные случайные величины
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2 Непрерывные случайные величины
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3 Частные виды распределений непрерывных случайных величин
- •Нормальное распределение
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.2 Показательное распределение
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.3 Равномерное распределение
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Закон больших чисел
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5 Цепи Маркова
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Список использованной литературы
- •Приложения
- •Задачи для подготовки к контрольной работе №1
- •Задачи для подготовки к контрольной работе №2
- •Дополнительные задачи по курсу теории вероятностей
- •Тесты по теории вероятностей Вариант 0
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вопросы для подготовки к экзамену по теории вероятностей
- •Теория вероятностей
- •426069, Г. Ижевск, ул. Студенческая, 11.
3.2 Показательное распределение
Пример 1. Задана функция плотности непрерывной случайной величины Х:
1) Найти параметр С. Определить вид распределения непрерывной случайной величины Х. Построить график функции плотности .
2) Найти функцию распределения и построить ее график.
3) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины Х.
4) Найти вероятность, что непрерывная случайная величина Х попадет в интервал .
Решение. 1) Так как функция плотности имеет вид
то заданная непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с . Тогда параметр и функция плотности
Построим схематический график этой функции (рисунок 27).
у
0 3 х
Рисунок 27
2) Функция распределения имеет вид
В нашем случае
График изображен на рисунке 28.
у
1
0 х
Рисунок 28
3) Для показательного закона математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам:
.
У нас , тогда
.
4) Для нахождения вероятности попадания случайной величины Х в интервал используем формулу
.
Вероятность попадания в интервал (0; 3) равна:
.
Пример 2. Время безотказной работы элемента имеет показательное распределение с , где t – время в часах).
1) Найти среднее число отказов элемента за 1 час.
2) Найти среднее время безотказной работы элемента.
3) Найти вероятность того, что за время длительностью часов:
а) элемент откажет;
б) элемент не откажет.
Решение. 1) Введем непрерывную случайную величину Т – время между двумя последовательными отказами (то есть время безотказной работы элемента). Доказано, что Т имеет показательное распределение, где – интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени). По виду функции распределения имеем . Таким образом, за 1 час имеем 0,01 отказов (то есть один отказ за 100 часов работы).
2) Среднее значение случайной величины найдем через математическое ожидание:
(часов).
То есть среднее время безотказной работы элемента 100 часов.
3а) Событие, что элемент откажет в течение 50 часов, означает, что время безотказной работы элемента . Тогда искомую вероятность найдем по формуле .
3б) События «элемент откажет» и «элемент не откажет» – противоположные, поэтому вероятность того, что элемент не откажет в течение 50 часов, равна