9 Решение задачи №8
Имеется группа из космических объектов, каждый из которых независимо от других обнаруживается радиолокационной станцией с вероятностью . За группой объектов ведут наблюдение независимо друг от друга радиолокационных станций. Найти вероятность того, что не все объекты, входящие в группу, будут обнаружены.
Анализ и классификация задачи
Задача относится к разделу «условной вероятности события», так как в ней идёт речь о нахождении вероятности появления события в опыте с обнаружением космических объектов.
Обоснование метода решения задачи
Так как в задаче необходимо найти вероятность того, что не все объекты, входящие в группу, будут обнаружены, то нужно воспользоваться теоремами сложения и умножения вероятностей.
Пошаговый алгоритм решения задачи
Шаг 1. Находим вероятность необнаружения объекта всеми станциями.
Шаг 2. Находим вероятность обнаружения всех объектов.
Шаг 3. Переходим к начальному условию задачи.
Шаг 4. Получить ответ.
Решение
Событие
– не все объекты, входящие в группу,
будут обнаружены. Перейдем к противоположному
событию
–
все объекты будут обнаружены. Вероятность
необнаружения объекта равна
– вероятность необнаружения объекта
всеми
станциями равна
.
А значит вероятность обнаружения
объекта, всеми
станциями, равна
–
вероятность необнаружения
объектов всеми
станциями
.
Отсюда следует, что
.
Ответ: вероятность того, что не все объекты, входящие в группу, будут обнаружены .
10 Решение задачи №9
Внутрь круга радиуса наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата. Предполагается, что вероятность падения точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга.
Анализ и классификация задачи
Задача относится к разделу «геометрическое определение вероятности событий», так как в ней идёт речь о нахождении вероятности события , в опыте с наудачу брошенной точкой внутрь круга.
Обоснование метода решения задачи
Так как в задаче необходимо найти вероятность того, вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата, будут обнаружены, то нужно воспользоваться формулой геометрической вероятности:
,
где
и
– площади геометрических фигур.
Пошаговый алгоритм решения задачи
Шаг 1. Находим площадь круга и вписанного в него квадрата.
Шаг 2. Подставляем найденные величины в формулу геометрической вероятности.
Шаг 3. Получить ответ.
Решение
Имеем событие – точка попадет внутрь круга.
Так
как площадь вписанного в окружность с
радиусом
квадрата
,
а площадь круга 
,
то, следовательно, вероятность попадания
точки в этот квадрата будет:
.
Ответ:
вероятность
того, что
точка окажется внутри вписанного в круг
квадрата
.
11 Решение задачи №10
Проводится 10 испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха . Найти вероятность события: всего три успеха, причём все они во второй половине испытаний.
Анализ и классификация задачи
Задача относится к разделу «схема Бернулли», так как в ней идет речь о нахождении вероятности события, в опыте проводящимся по схеме Бернулли.
Обоснование метода решения задачи
Так как в задаче необходимо найти вероятность события: всего три успеха, причём все они во второй половине испытаний, то нужно воспользоваться формулой Бернулли:
,
где – количество испытаний;
– количество успехов.
Пошаговый алгоритм решения задачи
Шаг 1. Рассчитаем число событий.
Шаг 2. Рассчитаем вероятность по формуле Бернулли.
Шаг 3. Получить ответ.
Решение
Имеем
событие
– (три успеха, причём все они во второй
половине испытаний). Рассчитаем число
событий
,
в которых выполняется данное условие.
Всего
во второй половине пройдёт 5 испытаний,
из которых 3 будут успешными и 2 неудачными,
а значит:
.
К данным событиям можно составить цепочки:
НННННННУУУ
ННННННУНУУ
ННННННУУНУ
ННННННУУУН
НННННУННУУ
НННННУНУНУ
НННННУНУУН
НННННУУННУ
НННННУУНУН
НННННУУУНН
Вероятность
каждой такой цепочки
,
а число таких цепочек равно 10. Поэтому
искомая вероятность:
.
Ответ: вероятность события имеющего всего три успеха, причём все они во второй половине испытаний: .