Диф-уравнения высших порядков

7. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и ее производные y0(x); y00(x); : : ::

то получим обыкновенное дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной.

В общем случае уравнения (7.1) и (7.2) не эквивалентны.

Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной, входящей в это дифференциальное уравнение.

Решением дифференциального уравнения (частным решением) на интервале (a; b) называется такая функция y = '(x), которая

определена на (a; b), имеет непрерывные производные и, будучи подстав-

ленной, вместе с ее производными в дифференциальное уравнение, обращает его в тождество для любого x 2 (a; b). Интегралом (частным

интегралом) дифференциального уравнения называется его любое решение, заданное неявной функцией '(x; y) = 0.

Дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений (интегралов). Для обозначения этого множества вводится понятие общего решения (общего интеграла) дифференциального уравнения.

Основная задача теории дифференциальных уравнений нахождение всех решений дифференциального уравнения и описание их свойств. Однако, для приложений теории дифференциальных уравнений важное значение имеет задача, в которой ищется решение уравнения (7.1), удовлетворяющее дополнительным условиям, состоящим в том, что функция вместе со своими производными до (n 1) порядка должна прини-

мать в точке x0 заданные значения (начальные условия)

1

В этом случае говорят, что для дифференциального уравнения поставлена задача Коши. При задании начальных условий важно, чтобы количество этих условий в точности совпадало с порядком дифференциального уравнения.

Как и для уравнения первого порядка, для задачи Коши уравнения n-го порядка справедлива теорема существования и единственности решения.

Если в дифференциальном уравнении y(n)(x) = f(x; y(x); y0(x); y00(x); : : : ; y(n 1)(x))

функция f(x; y(x); y0(x); y00(x); : : : ; y(n 1)(x)) непрерывна в области D, имеет в этой

области по всем своим аргументам, начиная со второго, ограниченные частные

ственное решение уравнения y = '(x; C10; C20; : : : ; Cn0), удовлетворяющее началь-

Смысл теоремы заключается в том, что при выполнении определенных условий решение задачи Коши для уравнения n-го порядка существует,

причем это решение единственно. Другими словами, если мы каким-то образом "угадали" решение задачи Коши, то это решение полностью исчерпывает задачу.

8. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

1. Простейшее дифференциальное уравнение, имеющее порядок выше первого и позволяющее понизить порядок так, что его удается проинтегрировать, имеет вид:

Проинтегрировав обе части уравнения (8.1), получим уравнение, порядок которого уменьшился на единицу:

y(n 1) = R f(x)dx + (n 1)!Cn,

здесь множитель (n 1)! введен для удобства.

Порядок этого уравнения может быть понижен точно так же, как это

2

было сделано в уравнении (8.1).

2. Уравнение, не содержащее явно y; y0; : : : ; y(k 1) также позволяет по- низить порядок. Рассмотрим уравнение

Проведя замену переменных z(x) = y(k)(x), получим уравнение порядка (n k) относительно функции z(x). Решив его, то есть найдя явный вид функции z(x), из уравнения y(k) = z(x) с известной правой частью найдем функцию y(x).

и общее решение уравнения имеет вид y = C1(x3 + 3x2) + C2x + C3.

6

3. К уравнениям, позволяющим понизить порядок, также относятся уравнения, не содержащие явно x. Рассмотрим уравнение

В этом уравнении сделаем замену y0 = p(y). Тогда производная y0(x)

неизвестной функции y(x) зависит от x неявно, и является сложной

3

В результате такой подстановки уравнение (8.4) становится уравнением первого порядка относительно функции p(y):

Решив это уравнение, получим уравнение вида y0 = p(y), которое явля-

ется уравнением с разделяющимися переменными.

Пример 8.3. Решите уравнение y00 + 2y(y0)3 = 0.

Заменой y0 = p(y) è y00 = p0(y) p(y), оно сводится к уравнению первого

порядка p(y)dydp + 2y(p(y))3 = 0, откуда dydp + 2y(p(y))2 = 0 или p(y) = 0. Второе уравнение дает тривиальное решение y = const, а первое является уравнением с

разделяющимися переменными и в результате интегрирования дает y0(x) = p(y) =

2 1 . Проинтегрировав в свою очередь это уравнение, получим общий интеграл y + C1

исходного уравнения x = y3=3 + C1y + C2.

9. Линейные уравнения n-го порядка.

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение видa

an(x)y(n)(x)+an 1(x)y(n 1)(x)+: : :+a1(x)y0(x)+a0(x)y(x) = f(x); (9:1)

ãäå ak(x) (k = 0; 1; 2; : : : ; n; an(x) 6= 0) и f(x) заданные функции. Если все коэффициенты ak(x) (k = 0; 1; 2; : : : ; n) и правая часть f(x)

непрерывные функции аргумента x, то при любых начальных условиях решение уравнения (9.1) существует и единственно: Если f(x) 0, то линейное уравнение (9.1) называют однородным, в противном случаенеоднородным.

Часто для краткости используют символическую запись уравнения (9.1), вводя оператор L:

L[y] = an(x)y(n)(x) + an 1(x)y(n 1)(x) + : : : + a1(x)y0(x) + a0(x)y(x)

n

èëè L[y] = P ak(x)y(k)(x).

k=0

4

Тогда уравнение можно записать в виде

Оператор L является линейным.

Решения линейных уравнений обладают свойствами, которые будут в дальнейшем использоваться для построения общего решения. Сформу-

лируем эти свойства:

1. Если функции y1(x) è y2(x) являются решениями уравнений L[y] = f1(x) è L[y] = f2(x) соответственно, то функция y1(x) + y2(x) является решением уравнения L[y] = f1(x) + f2(x).

Доказательство. Òàê êàê L[y1] = f1(x) è L[y2] = f2(x), то по свойству линейного оператора имеем L[y1 + y2] = L[y1] + L[y2] = f1(x) + f2(x).

2. Если функция y1(x) является решением уравнения L[y] = f(x), а функция y2(x) является решением однородного уравнения L[y] = 0, то функция y1(x) + y2(x) является решением уравнения L[y] = f(x).

Доказательство. Òàê êàê L[y1] = 0 è L[y2] = f(x), то по свойству линейного оператора имеем L[y1 + y2] = L[y1] + L[y2] = 0 + f(x) = f(x).

3. Если функции y1(x); y2(x); : : : ; yk(x) являются решениями однородного линейного уравнения L[y] = 0, то функция y(x) = C1 y1(x) + +C2 y2(x) + : : : + Ck yk(x) также является решением этого уравнения .

Доказательство. Òàê êàê L[yk] = 0 для всех k = 1; n, то по свойству линейного оператора имеем L[C1 y1(x)+C2 y2(x)+: : :+Ck yk(x)] = C1L[y1]+: : :+CnL[yn] = 0.

В курсе линейной алгебры было показано, что множество определенных на [a; b] функций образует линейное пространство. Множество

непрерывных на [a; b] функций и множество n раз дифференцируемых

на [a; b] функций образуют подпространства этого линейного простран-

ñòâà (C[a; b] è Cn[a; b]).

4. Множество всех решений линейного дифференциального однородного уравнения образует подпространство пространства Cn[a; b].

5

Для изложения следующего материала понадобятся некоторые понятия из курса линейной алгебры. Вспомним их.

Система функций y1(x); y2(x); : : : ; yk(x) называется линейно зависимой на отрезке [a; b], если можно найти набор неравных одновременно нулю констант 1; 2; : : : ; k, таких что, для всех x 2 [a; b] справедливо равенство

Левая часть равенства (9.4) называется линейной комбинацией функций y1(x); y2(x); : : : ; yk(x). Если же для функций y1(x); y2(x); : : : ; yk(x)

такого набора неравных одновременно нулю констант 1; 2; : : : ; k íå существует, то есть равенство (9.4) справедливо только при условии, что все 1 = 2 = : : : = k = 0, то говорят, что функции y1(x), y2(x); : : : ; yk(x) линейно независимы.

Приведем примеры линейно зависимых или линейно независимых систем функций:

а) Система функций sin2 x; cos2 x; a при a 6= 0 линейно зависима на

(1; +1), òàê êàê 1 sin2 x + 1 cos2 x + a1 a = 0;

б) Функции 1; x; x2; : : : ; xn линейно независимы. По основной теореме алгебры многочлен a0 + a1x + a2x2 + : : : + anxn обращается в ноль не более чем в n точках.

Проверять линейную независимость системы функций по определению достаточно неудобно. Рассмотрим критерий, применяя который будем исследовать систему функций на ее независимость.

Определитель этой матрицы называют определителем Вронского

или Вронскианом1

1Юзеф Мария Вроньский (Jozef Maria Hoene-Wronski настоящая фамилия Хене) (1776-1853) польский матема-

6

Определитель Вронского применяют для исследования линейной за-

висимости системы функций. Справедливо утверждение.

Если система функций y1(x); y2(x); : : : ; yn(x) линейно зависима на (a; b), то определитель Вронского для этой системы на (a; b) тождественно равен нулю.

Доказательство. Докажем теорему для случая n = 3. Пусть функции y1(x), y2(x),

так как третий столбец линейная комбинация первых двух.

Из этого утверждения следует, что если определитель Вронского для некоторой системы функций не равен тождественно нулю на (a; b),

то эта система функций линейно независима .

Отметим, что для двух ненулевых функций условие линейной независимости равносильно условию yy12 6= const.

Система функций y1(x); y2(x); : : : ; yn(x) может быть линейно независимой на (a; b), но определитель Вронского для этой системы может быть на (a; b) тождественно ра-

( (

вен нулю. Например, функции y1 = è y2 = линей-

но независимы, но определитель Вронского для этой системы функций тождественно равен нулю на R.

Справедливо следующее утверждение.

Каждое линейное однородное дифференциальное уравнение n-го

порядка имеет ровно n линейно независимых частных решений

тик и философ-мистик. Математические работы Вронского отмечены общностью постановки задач. Но его труды остались незамеченными современниками. Уже после смерти Вронского исследователи его трудов обнаружили, что ему принадлежит авторство значительного числа методов и утверждений, заново открытых другими математиками. Несмотря на это, имя Вронского присутствует в математическом анализе из-за введ¸нного им впервые в 1812 году функционального определителя. (Алексей Кириллович Вронский центральный персонаж романа Л.Н.Толстого "Анна Каренина"(1873-1877), граф, флигель-адъютант, богач и красавец.)

7

y1(x); y2(x); : : : ; yn(x).

Максимальную совокупность линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения называют фундаментальной системой решений.

Для построения фундаментальной системы решений линейного дифференциального уравнения был доказан критерий линейной независимо-

сти частных решений линейного дифференциального уравнения.

(О линейной независимости решений линейного дифференциального уравнения) Для того чтобы система частных решений линейного дифференциального уравнения n-го порядка

y1(x); y2(x); : : : ; yn(x) (x 2 (a; b)) была линейно независимой необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского для этой системы функций не равнялся нулю ни в одной точкe интервала (a; b).

Доказательство. Докажем теорему для случая n = 3. Пусть функции y1(x), y2(x), y3(x) линейно независимы на [a; b] и являются решениями однородного уравнения

L[y] = a3(x)y000(x) + a2(x)y00(x) + a1(x)y0(x) + a0(x)y(x) = 0. Предположим, что существует точка x0 2 (a; b) , в которой W (x0) = 0:

Определитель этой системы = W (x0) = 0, следовательно, она имеет ненулевое

решение 1; 2; 3 . Образуем с его помощью функцию y = 1y1 + 2y2 + 3y3. Функция y решение уравнения L[y] = 0. Тогда

Таким образом, решение y удовлетворяет нулевой системе начальных условий. Но этой же системе начальных условий удовлетворяет функция y 0. По теореме о существовании и единственности решений получаем, что y = 1y1 + 2y2 + 3y3 0, но не все коэффициенты равны нулю. Противоречие с линейной независимостью системы функций y1(x); y2(x); y3(x).

8

Теорема 9.1. (О структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка) Общее реше-

ние линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка

L[y] = 0 представляет собой линейную комбинацию его n линейно неза-

висимых частных решений (фундаментальной системы решений)

ãäå C1; C2; : : : ; Cn произвольные постоянные.

Пример 9.1. Найдите общее решение уравнения x2y00 + xy0 y = 0.

Это уравнение имеет два линейно независимых частных решения y1 = x è y1 = x1 ,

в чем легко убедиться непосредственной подстановкой. Тогда согласно теореме 9.1 общее решение имеет вид y = C1x + Cx2 .

Теорема 9.2. (О структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка) Общее ре-

шение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го по-

рядка L[y] = f(x) представляет собой сумму общего решения yoo со-

ответствующего линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка L[y] = 0 и любого частного решения yчн(x) неоднородного

уравнения L[y] = f(x)

Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка y00 + a(x)y0 + b(x)y = f(x) можно искать в виде

y = C1(x)y1 + C2(x)y2, ãäå y1 è y2 линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, а C1(x) è C2(x) две специальным образом подобранные функции (т.е. применить метод вариации произвольной постоянной).

Пример 9.2. Найдите общее решение уравнения x2y00 + xy0 y = 3x2.

Общее решение соответствующего однородного уравнения найдено в примере 9.1 y = C1x + Cx2 . Частное решение неоднородного уравнения имеет вид

(решение найдено методом подбора функции, соответствующей виду

правой части).

9

Подобрав частное решение, мы согласно теореме 9.2 можем построить общее решение неоднородного уравнения yoн(x) = yoo(x) + yчн(x) = C1x + Cx2 + x2.

Задания для самостоятельного решения.

Задание 9.1. Докажите с помощью определителя Вронского линейную независимость каждой из систем функций.

1)1; x; x2; x3;

2)sin x; cos x; sin 2x; cos 2x;

3)e x; e2x; e3x.

10. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными

коэффициентами.

Линейное дифференциальное уравнение n-ãî порядка с постоян-

ными коэффициентами имеет вид

ãäå ak (k = 0; 1; 2; : : : ; n; an 6= 0) некоторые числа, а f(x) заданная функция. Не нарушая общности рассмотрения, поскольку an 6= 0 можно считать, что an = 1, то есть разделить обе части уравнения (10.1) на an.

Если f(x) 0, то уравнение однородное, в противном случае íåîä-

нородное.

Используя оператор L уравнение можно записать в виде

Поскольку уравнение L[y] = 0 есть частный случай более общего урав-

нения (9.1), для него справедливы теоремы 9.1 и 9.2 о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го по-

рядка, и его решение находится как линейная комбинация соответствующих частных решений. Вид уравнения

10