Диф-уравнения высших порядков

станты. Подставляя C1(x); C2(x); : : : ; Cn(x) в (12.3) найдем общее решение уравнения (12.1).

Задания для самостоятельного решения.

13. Системы дифференциальных уравнений.

До сих пор мы ограничивались исследованием одного дифференциального уравнения для неизвестной функции и ее производных. Нередко в реальности для описания процессов и явлений требуется несколько функций, что приводит к системе уравнений для нескольких неизвестных функций и их производных:

Не нарушая общности, можно ограничиться рассмотрением систем, содержащих только первые производные неизвестных функций.

21

Разрешив систему уравнений (13.2) относительно производных, получим

канонический вид системы дифференциальных уравнений :

по себе достаточно сложная, и ее решение не входит в задачу теории дифференциальных уравнений.

Систему дифференциальных уравнений можно получить из одного

Таким образом, из одного дифференциального уравнения получили систему дифференциальных уравнений первого порядка.

Для системы дифференциальных уравнений формулируется задача Коши о нахождении частного решения yk(x) (k = 1; 2; : : : ; n) по заданным начальными условиями yk(x0) = yk0 .

Часто в системах дифференциальных уравнений независимую переменную обозначают через t (время).

22

14. Системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Рассмотрим линейную систему, уравнения которой имеют вид

Введем вектор-столбцы функций Y (t) = (yk(t)) è F (t) = (fk(t)), а также матрицу A(t) = (aij(t)). Тогда систему уравнений (14.1) можно записать в матричном виде

Для краткости используют символическую запись уравнения типа (14.2), вводя линейный оператор L.

Если F (t) 0, то систему линейных уравнений (14.2) называют îäíî-

родной, в противном случае неоднородной. Для однородных систем линейных уравнений, так же как и для линейных однородных уравнений справедливы теоремы о сумме решений системы, вводится понятие фундаментальной системы как набора линейно независимых частных решений этой системы вектор-столбцов (Y (t))k. Поскольку, система n линейных дифференциальных уравнений может быть сведена к одному дифференциальному уравнению n-го порядка, ее фундаментальная система

должна содержать ровно n линейно независимых функций.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 14.1. (О структуре общего решения однородной системы n линейных дифференциальных уравнений) Общее ре-

шение однородной системы n линейных дифференциальных уравнений

L[Y (t)] = 0 представляет собой линейную комбинацию его n линейно

независимых частных решений (фундаментальной системы).

23

Теорема 14.2. (О структуре общего решения неоднородной системы n линейных дифференциальных уравнений) Общее реше-

ние неоднородной системы n линейных дифференциальных уравнений

L[Y (t)] = F (t) представляет собой сумму общего решения (Y (t))0 ñî- ответствующей однородной системы L[Y (t)] = 0 и любого частного

решения (Y (t))ч. неоднородной системы L[Y (t)] = F (t).

Линейную независимость частных решений однородной системы n ли-

нейных дифференциальных уравнений исследуют, используя определитель Вронского системы n линейных дифференциальных уравнений:

Для того чтобы набор частных решений системы n линейных диф-

ференциальных уравнений Y (t)k (t 2 (a; b), k = 1; 2; : : : ; n) был линейно независим необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского не равнялся нулю ни в одной точке интервала (a; b).

Если известно общее решение однородной системы линейных уравнений, то решение неоднородной системы можно найти методом вариации постоянных.

15. Системы дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид аналогичный (14.1):

24

а в матричной форме отличие от уравнения (14.2) только в том, что матрица A не зависит от t

Так же как и для линейных систем с переменными коэффициентами, если F (t) = 0, систему линейных уравнений называют однородной

Рассмотрим сначала однородную систему двух уравнений с двумя неиз-

Простейший способ решения системы (15.5) метод исключения неизвестной. Продифференцируем первое уравнение и подставим производную y0(t) из второго уравнения

x00(t) = a11x0(t) + a12y0(t) = a11x0(t) + a12(a21x(t) + a22y(t)) =

Для функции x(t) получили однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами

Решая уравнение (15.6) найдем функцию x(t), а затем подставив ее в первое уравнение системы (15.5) находим функцию y(t).

25

Решение . Из первого уравнения найдем y = x x0, подставим во второе x0 x00 = x+ 3x 3x0 èëè x00 4x0 +4x = 0. Характеристическое уравнение имеет вид k2 4k+4 = 0

и его корни k1;2 = 2. Тогда x(t) = (C1 + C2t)e2t è y(t) = (C1 + C2t)e2t (2C1 + 2C2t +

Методом исключения неизвестных функций можно решить однородную систему при произвольном числе уравнений. К сожалению, процедура исключения неизвестных из систем с большим числом уравнений довольно громоздка. В этом случае применяют другой метод решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Как и для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами n-го порядка представим решение системы уравнений (15.3) в виде

ãäå U = (U1; U2; : : : ; Un)T вектор-столбец постоянных. Подставив вы-

ражение (15.7) в уравнение (15.3) и сократив обе части полученного выражения на e t, получим алгебраическое уравнение для нахождения

вектор-столбца U

Полученное уравнение это уравнåíие для определения собственных значений и собственных векторов U матрицы A.

26

Из теории линейных операторов следует, что для матрицы размера n n, в общем случае, существует ровно n собственных значений (с

учетом их кратности) и столько же собственных векторов. Найдя собственные значения матрицы k; (k = 1; 2; : : : ; n) из характеристического уравнения

построим n различных собственных векторов Uk, каждый из которых со-

ответствует оïределенному собственному значению. Найденные векторстолбцы (e ktUk) составят фундаментальную систему решений однород-

ной системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, с помощью которой и строится общее решение системы уравнений (15.3):

(если все собственные значения k различны).

Если же какой-либо корень характеристического уравнения (15.9) является кратным ( 1 = 2 = : : : = r = k), то в общем решении (15.10) вместо r слагаемых, соответствующих этим собственным числам, записывается следующее выражение

комплексных слагаемых можно записать два слагаемых, каждое из которых при подходящей параметризации пары констант интегрирования C1 è C2 будет действительным

Данный метод решения легко реализовать для системы двух уравнений (15.5), записанной в матричном виде:

27

Решение . Запишем систему уравнений в матричном виде

Решение . Запишем систему уравнений в матричном виде

!! !

28

!!

Решение . Запишем систему уравнений в матричном виде

Найдем производные этих функций и подставим в систему дифференциальных уравнений: x0(t) = (2A1t + 2A2 + A1)e2t; y0(t) = (2B1t + 2B2 + B1)e2t и подставим в

систему дифференциальных уравнений.

29

>

>

>

:A2 B2 + B1 = 0

Пусть A1 = C1; A2 = C2, тогда B1 = C1; B2 = C1 C1.

Общее решение системы имеет вид x(t) = (C1t + C2)e2t; y(t) = ( C1t C1 C2)e2t

30