2 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход и обратный.

Прямой ход Гаусса выполняется за n-1 стадий, на каждой k-й стадии исключается очередная неизвестная x_k по формулам:

;

;

,

где n – порядок системы линейных алгебраических уравнений; i, j = k + 1, ..., n. Обратный ход состоит из n-1 стадий обратной подстановки по рекуррентной формуле:

; ; i = n-1,...,1.

Алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений по методу Гаусса:

Этап 1. Задание исходных значений: ввод матрицы А и вектора В, k:=1.

Этап 2. Вычисление: i := k + 1.

Этап 3. Печать матрицы А и вектора В.

Этап 4. Вычисление: m := a_ik / a_kk; a_ik := 0;b_i := (b_i - mb_k).

Этап 5. Вычисление: a_ij := a_ij - ma_kj для j = k + 1, ..., n.

Этап 6. Вычисление: i := i + 1, если i  n, то переход к этапу 4.

Этап 7. Вычисление: k := k + 1, если k  n, то переход к этапу 2.

Этап 8. Вычисление: x_n := b_n / a_nn; i := n - 1.

Этап 9. Вычисление: Z = ; x_i = (b_i - Z) / a_ji.

Этап 10. Вычисление: i := i - 1, если i  1, то переход к этапу 9.

Этап 11. Печать вектора X.

3 Вычисление интеграла

3.1 Метод прямоугольников

Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой:

h = (b –a )/n,

где n - число разбиений отрезка [a, b].

В качестве точек могут выбираться левые (x_i-1) или правые (x_i) границы элементарных отрезков. Обозначая f(x_i) = y_i, получим следующие формулы метода прямоугольников соответственно для этих двух случаев:

Широко распространенным и более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значение функции в средних точках элементарных отрезков (в полуцелых узлах):

x[i - 1/2] = (x[i - 1] + x[i]) / 2 = x[i] + h / 2, i = 1, 2, ..., n.

Этот метод называется еще методом средних (рисунок 4).

3.2 Метод трапеций

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции y = f(x) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (x_i, y_i). В этом случае площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеций. Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту (рисунок 5).

, i = 1, 2, ..., n.

Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций для численного интегрирования:

3.3 Метод Симпсона (метод парабол)

Этот метод отличается от предыдущих тем, что на каждом малом интервале [x_k-1, x_k] дуга кривой f(x) заменяется дугой параболы, проходящей через точки (x_k-1, f(x_k-1)), (y_k, f(y_k)), (x_k, f(x_k)), где y_k = (x_k-1 + x_k) / 2 (рисунок 6).

Формула имеет следующий вид:

I=1/6*((f(a)+f(b))*h+2 *h+4 *h),

где h = (b - a) / n,

x_k = x_k-1 + h (x_o = a), y_k = y_k-1 + h (y_o = a – h / 2).

Задания к работе

Используя программу ASNIRS, получите индивидуальное задание. Составьте блок-схемы к задачам, напишите программы на языке Pascal, реализуйте их на ПЭВМ, оформите отчет о выполненной работе.