1.3. Метод Симпсона ( параболическая формула)

Отрезок интегрирования [a , b] разбивают на четное количество n=2m равных интервалов с шагом

На каждых двух соседних интервалах [x_i-1 , x_i ] и [x_i , x_i+1 ] (i=1,2,…,n-1) , начиная с первого, заменяют функцию полиномом Лагранжа или Ньютона второй степени, т.е. параболой, проходящей через три точки с координатами (x_i-1, y_i-1 ) , (x_i, y_i ) , (x_i+1, y_i+1 ) и с осью симметрии, параллельной оси ординат (Рис.5).

Площадь каждой пары интервалов равна s_i=(y_i-1+4y_i+y_i+1)h/2 . Сумма этих площадей и представляет формулу Симпсона

(5)

Рис.4. Метод трапеций	Рис.5. Метод Симпсона

Квадратурные формулы для равноотстоящих узлов называются формулами Ньютона-Котеса и различаются только степенями используемых интерполяционных полиномов. Для того, чтобы не иметь дело с полиномами высоких степеней, разбивают отрезок интегрирования [a , b] на отдельные интервалы, на каждом из которых применяют формулы Ньютона-Котеса с невысокими степенями и потом складывают полученные результаты (поэтому такие формулы называют также составными).

Необходимо заметить , что при использовании формулы Симпсона число промежутков n всегда должно быть четное , т.е n=2m .

Еще одна известная формула – формула Ньютона или правило трех-восьмых.

Обязательно помнить , что в этой формуле число промежутков n=3m.

Погрешности формул численного интегрирования

Квадратурная формула численного интегрирования имеет вид

(1)

Каждая конкретная квадратурная формула считается заданной , если указано, как выбрать ξ_i , соответствующие величины( веса) q_i , а также как оценить погрешность R .

Теорема 1

Пусть функция y=f(x) дважды дифференцируема на промежутке

Тогда :

Погрешность квадратурной формулы прямоугольников имеет вид

, где , поэтому

Погрешность квадратурной формулы трапеций имеет вид

,где , поэтому

Точка ξ принадлежит отрезку [а,в].

Теорема 2.

Пусть функция y=f(x) имеет непрерывную четвертую производную , тогда для формулы Симпсона справедлива оценка погрешности

, где  a,b .

Для формулы Ньютона справедлива оценка

, где  a,b .

На практике значение ξ для формул погрешностей неизвестно , поэтому шаг интегрирования выбирается по заданной абсолютной точности ε вычисления интеграла из следующих условий :

Для формулы прямоугольников →

Для формулы трапеций →

Для формулы Симпсона →

Таким образом шаг h определяется значениями х с наихудшими поведением f(x) с точки зрения погрешности R . Однако такое правило выбора разбиения интервала может приводить к избыточным вычислениям , если f(x) имеет частичные интервалы с «плохим»поведением малой суммарной длины относительно длины [а,в] .

Примером функции такого типа является

Выбирая шаг по наихудшей точке для формулы прямоугольников при σ<<1, имеем значение h=σ(24ε)^1/2, малое для всего интервала [0,1] .Почти на всем интервале величина этого шага излишне мала для обеспечения заданной точности , и следовательно будут произведены избыточные вычисления.

Конечно , здесь имеется в некотором роде лукавство , ведь если функция задана таблично мы ничего не сможем определить по формулам в таком виде.

В предположении отсутствия быстро колеблющихся составляющих можно применять приближенные формулы для погрешностей , выраженные через конечные разности:

→

→

→

Здесь конечные разности есть арифметическое среднее значение разностей соответствующего порядка.

Для того , чтобы освободится от указанного недостатка составных квадратурных формул с постоянным шагом , исходный интервал разбивают на частичные интервалы различной длины. Причем длина частичных интервалов определяется локальными свойствами f(x) ( на данном частичном интервале) и заданной точностью интегрирования.