5. Кинематический анализ исполнительных механизмов промышленных роботов.

Задачей кинематического анализа является, как отмечалось ранее, определение скоростей и ускорений точек механизма и угловых скоростей и угловых ускорений его звеньев. Для определения скоростей и ускорений продифференцируем функцию положения (2.49) по времени:

В выражения (2.55) и (2.56) входят первые и вторые частные производные от матриц перехода. Найдем их.

где

где .

=const

Очевидно, что

Для определения угловых скоростей может быть использована следующая рекуррентная процедура. Пусть - вектора угловых скоростей в неподвижной системе координат звеньев соответственно m и (m-1), а - вектор относительной угловой скорости звена m относительно звена (m-1). Тогда можно записать:

, m=1, … n. (2.61)

Введем векторы-столбцы проекций угловых скоростей на оси локальных систем координат:

(2.62)

Тогда можно записать выражение (2.61) в проекциях на оси (m-1)-й системы координат:

(2.63)

Пусть - матрица направляющих косинусов, тогда . Отсюда

(2.64)

С учетом (2.64) выражение (2.63) можно записать:

, m=1, … n. (2.65)

Таким образом, зная , можно в соответствии с (2.65) последовательно, начиная с первого звена, определить угловые скорости всех n звеньев исполнительного механизма промышленного робота.

Для определения угловых ускорений продифференцируем (2.61) по времени. При этом учтем, что абсолютная производная по времени от вектора равна геометрической сумме относительной производной того же вектора и векторного произведения вектора угловой скорости вращения относительной системы координат на дифференцируемый вектор:

(2.66)

Относительная производная представляет собой вектор относительного углового ускорения . Обозначив - вектор углового ускорения звена m, получив выражения для угловых ускорений:

(2.67)

В соответствии с условленным ранее правилом выбора осей локальной системы координат во вращательной кинематической паре вектор-столбец проекций углового ускорения на оси m-й системы координат представляет собой:

Проецируя (2.67) на оси m-й системы координат и используя соотношение , получим следующее выражение для рекуррентной процедуры отыскания угловых ускорений:

, m=1, … , n

Зная относительные угловые ускорения , можно последовательно, начиная с первого звена, определить угловые ускорения всех n звеньев.