Случайные величины

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания принимает одной возможное числовое значение.

Случайные величины (с.в.) обозначаются заглавными латинскими буква­ми (см. например, ).

Дискретная случайная величина имеет конечное или счетное множество значений. Закон распределения дискретное с.в. Х – это перечень ее возможных значений и соответствующих вероятностей. Закон распределения дискретной с.в. Х записывается в виде ряда распределения:

Значения (х)			…		…	(1)
Вероятности (р)			…		…

Здесь .

Числовые характеристики случайной величины.

Математическое ожидание дискретной с.в. определяется формулой:

где – знак суммирования.

Математическое ожидание обозначается также буквой , возможно с ин­дексом, например .

Перечислим свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание константы равно этой константе: МС=С.

2. Если С – константа, то М(СХ)=СМХ.

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий. (Из этих свойств следует, что ).

4. Если с.в. , независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий:

.

Дисперсия дискретной с.в. Х, имеющей закон распределения (1) и математическое ожидание , определяется формулой:

.

Дисперсия обозначается также , возможно, с индексом. Можно также доказать, что

Последняя формула иногда бывает удобней для вычислений.

Перечислим свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2. Если С – константа, то .

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется величина .

Задача 7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной следующим законом распределения:

xi	-2	0	1	2
pi	0,5	0,1	0,2	0,2

Решение

Вычислим математическое ожидание дискретной случайной величины Х:

.

Далее вычислим дисперсию дискретной случайной величины Х:

,

а также среднее квадратическое отклонение:

.

Ответ: MX = –0,4; DX = 2,84; σX = 1,65.

Критерии для оценки контрольной работы:

1. Наличие разумных пояснений к выполняемым пунктам задания

2. Указание используемых формул

3. Соблюдение рекомендованного алгоритма решения задания

4. Точность вычислений

5. Решение всех указанных задач.

Перечень вопросов для подготовки к экзамену

1. Матрицы. Действия над матрицами. Линейные преобразования матриц.

2. Определители второго, третьего и n-го порядка. Методы вычислений, свойства определителей.

3. Система m линейных уравнений с n переменными. Методы решения СЛУ (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса)

4. Линейные операции над векторами. Скалярное и векторное произведение векторов и их свойства.

5. Задачи линейного программирования (ЗЛП) Графическое решение двухмерных задач.

6. Понятие множества. Понятие функции. Основные свойства функции.

7. Основные элементарные функции, их классификация, графики.

8. Определение предела функции.

9. Бесконечно малые, бесконечно большие величины. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.

10. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы.

11. Непрерывность функции в точке, в интервале и на отрезке.

12. Точки разрыва и их классификация.

13. Непрерывность основных элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

14. Определение производной функции в точке. Таблица производных.

15. Производная сложной функции.

16. Промежутки возрастания и убывания функции. Максимум и минимум функции.

17. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

18. Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл.

19. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

20. Первообразная. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов.

21. Определение и свойства определенного интеграла.

22. Геометрический смысл определенного интеграла.

23. Формула Ньютона–Лейбница.

24. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

25. Дифференциальные уравнения первого порядка.

26. Классическое и статистическое определения вероятности события.

27. Теоремы сложения вероятностей.

28. Теоремы умножения вероятностей.

29. Формула Бернулли.

30. Случайные величины дискретные и непрерывные.

31. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.

32. Вариационный ряд. Статистическое распределение выборки.

33. Полигон частот.

34. Гистограмма частот.

Формат и содержание экзамена, критерии оценки.

Экзамен проводится в установленное расписанием время по утвержденным билетам. Билет содержит два теоретических вопроса и одно практическое задание. Практическое задание оформляется в письменном виде со всеми необходимыми комментариями по алгоритму решения. На теоретические вопросы студент отвечает устно. Для получения оценки «Отлично» необходимо правильно решить практическое задание, знать основные положения теоретических вопросов и уметь объяснить любую, предложенную преподавателем, задачу из контрольной работы студента. Для получения оценки «Хорошо» необходимо знать основные положения теоретических вопросов и уметь объяснить любую, предложенную преподавателем, задачу из контрольной работы студента. Для получения оценки «Удовлетворительно» необходимо уметь объяснить любую, предложенную преподавателем, задачу из контрольной работы.

Перечень рекомендуемой литературы

а) основная литература:

1. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов – М.:ЮНИТИ, 2006.

2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009.

3. Краснов М.А. и др. Вся высшая математика – М.: Эдиториал УРСС, 2003.

б) дополнительная литература;

4. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Практикум – М.:ЮНИТИ, 2010.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа,2003.

6. Коровина Л.А. Математика (Элементы аналитической геометрии, линейной алгебры и линейного программирования): Методическое пособие по изучению курса и выполнению расчетных работ для студентов, обучающихся по специальности «Туризм». – М.: МАТГР, 2007.

7. Коровина Л.А. Математика ( дифференциальное и интегральное исчисления). Учебно-методическое пособие по изучению курса и выполнению расчётных работ. М.: МГИИТ, 2010.-32 с.