Задания для контрольной работы

Номер выполняемого варианта соответствует номеру зачетной книжки студента. Например, студент с номером зачетной книжки 45/10 выполняет вариант 5.

1–10. Решить данную систему уравнений пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11–20. Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы. Сделать проверку полученного решения.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21–30. Решить систему уравнений методом Гаусса. Рекомендуется преобразования, связанные с последовательным исключением неизвестных, применять к расширенной матрице данной системы. Сделать проверку полученного решения.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31-40. Туристской фирме требуется не более а трехтонных автобусов и не более в пятитонных автобусов. Отпускная цена автобусов первой марки 20000 у.е., второй марки 40000 у.е. Туристская фирма может выделить для приобретения автобусов не более с у.е. Сколько следует приобрести автобусов каждой марки в отдельности, чтобы их общая (суммарная) грузоподъёмность была максимальной. Решить задачу графическим методом.

31. а = 11 в = 9 с = 460000

32. а = 12 в = 10 с = 520000

33. а = 13 в = 11 с = 580000

34. а = 14 в = 12 с = 640000

35. а = 15 в = 13 с = 700000

36. а = 16 в = 14 с = 760000

37. а = 17 в = 15 с = 820000

38. а = 18 в = 16 с = 880000

39. а = 19 в = 17 с = 940000

40. а = 20 в = 18 с = 1000000

41-50. Исследовать функцию y = f(x) и построить ее график. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке [a, b].

41. a =  1 , b = 3

42. a =  1 , b = 2

43. a = 2 , b = 3

44. a =  1 , b = 2

45. a = 0 , b = 4

46. a=  2 , b= 3

47. a =  3 , b = 0

48. a = 3 , b = 1

49. a = 1 , b = 4

50. a =  1 , b = 4

5160. Найти неопределённые интегралы и результат интегрирования (в одном примере) проверить дифференцированием.

51. a) б)

в)

52. а) б)

в)

53. а) б)

в)

54. а) б)

в)

55. а) б)

в)

56. а) б)

в)

57. а) б)

в)

58. а) б)

в)

59. а) , б)

в)

60. а) б)

в)

6170. Найти с помощью определенного интеграла площадь плоской фигуры, расположенной в первой четверти и ограниченной заданными параболой, прямой и осью Ох.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71-80. Задачи по теории вероятностей.

71. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из них 3 в мягком переплёте. Библиотекарь взял 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в мягком переплёте.

72. Студент знает ответы на 20 вопросов из 25 программных вопросов. Найти вероятность того, что он знает ответы на предложенные ему экзаменатором 3 вопроса.

73. Для некоторой местности в июле шесть пасмурных дней. Найти вероятность, что первого и второго июля будет ясная погода.

74. Из 200 рабочих не выполняют норму выработки 15 человек. Найти вероятность того, что два случайно выбранных рабочих не выполняют норму.

75. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0.6, вторым – 0.7, третьим – 0.8. Найти вероятность того, что при одном выстреле попадут в цель: а) все три стрелка; б) попадёт хотя бы один из них.

76. В ящике лежат 20 электрических ламп, из которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что взятые одна за другой две лампочки окажутся стандартными.

77. Одновременно бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что на каждой кости появится нечётное число очков.

78. В урне находится 15 шаров, 5 из них красные, а остальные белые. Наугад друг за другом извлекают три шара. Найти вероятность того, что все они окажутся красными.

79. В бассейне находятся 25 карпов и 5 лещей. Наудачу вылавливают 3 рыбы. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы один лещ.

80. В офис турфирмы пришли 3 клиента. Вероятность приобрести тур у каждого клиента равна 0.4. Найти вероятность того, что: 1) все клиенты приобретут туры; 2) ни один из них тур не приобретёт.

81 – 90. Задана дискретная случайная величина Х :

Х	k	k + 1	k + 2	K + 3
P	0.2	0.3	0.4	0.1

( k – номер варианта студента)

Найти: а) математическое ожидание М(х); б) дисперсию D (x); в) среднее квадратическое отклонение б(х).

Примечание: контрольную работу выполнять в тетради в клетку; писать яркими синими чернилами, четким почерком; условия задач переписывать; на титульном листе необходимо указать (можно в напечатанном виде) следующее: МГИИТ, контрольная работа по математике студента ФИО заочного обучения (4,5 года), курс, группа, шифр (по зачётной книжке), номер варианта. Проверил: ФИО преподавателя.

Методические указания и примеры решения заданий (1-10)

Рассмотрим систему уравнений:

(1)

где х,у,z – неизвестные; коэффициенты а₁₁, а₁₂,…., а₃₃ и свободные члены ₁, ₂, ₃ – известные постоянные (числа)

Введем обозначения:

;

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется определителем данной системы.

Определители , получаются из определителя при помощи замены соответственно его первого, второго и третьего столбца – столбцом свободных членов данной системы.

Если то система (1) имеет единственное решение; оно определяется формулами:

(2)

Формулы (2) называются формулами Крамера.

Если определитель системы а хотя бы один из определителей , отличен от нуля, то система (1) не имеет решений.

В случае, когда и одновременно , система (1) также может не иметь решений; но если система в этом случае имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много решений.

Решение типового примера.

Пусть требуется, используя формулы Крамера, решить систему

Вычислим сначала главный определитель системы , воспользовавшись следующим правилом вычисления определителей третьего порядка:

= .

У нас

Так как делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Найдём его. Вычислим вспомогательные определители , .

;

;

.

Далее, воспользовавшись формулами Крамера, окончательно получим

.

Осуществим проверку правильности полученного решения, подставив его в каждое уравнение заданной системы:

Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения.

Ответ: х = 0; у = –1; z = 2.

Методические указания и примеры решения заданий (11-20)

Рассмотрим систему линейных уравнений

(1)

Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; X – матрицу – столбец неизвестных х, у, z; В – матрицу – столбец свободных членов ₁, ₂, _3:

А= ; Х= ; В=

С учетом этих обозначений данная система уравнений (1) принимает следующую матричную форму:

(2)

Если матрица А – невырожденная (ее определитель отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу . Умножив обе части уравнения (2) на , получим:

.

но (Е – единичная матрица), а , поэтому

(3)

Равенство (3) называется матричной записью решения системы линейных уравнений (1). Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу .

Пусть имеем невырожденную матрицу

, ее определитель

Тогда

= (4)

где А j ( =1, 2, 3; j=1, 2. 3) – алгебраическое дополнение элемента _ij в определителе матрицы А, которое является произведением на минор (определитель второго порядка), полученный вычеркиванием -ой строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Решение типового примера.

Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы.

Обозначим матрицы

; Х = ; В= .

Тогда матричная форма записи данной системы будет

,

или

=

Найдем обратную матрицу для матрицы А. Для этого:

1. Вычислим определитель матрицы А.

=

Получили . Следовательно матрица А имеет обратную матрицу .

2. Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента определителя матрицы А.

4. Обратная матрица будет иметь вид:

5. Проверим правильность полученной обратной матрицы (произведение обратной матрицы на матрицу А должно быть равно единичной матрице Е).

Получили единичную матрицу. Значит обратная матрица найдена верно.

Находим решение данной системы уравнений в матричной форме

Получили , следовательно х = 3; у = 0; z = –2.

Проверим правильность полученного решения, подставив его в каждое уравнение заданной системы:

Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения.

Ответ: х = 3, у = 0, z= –2

Методические указания и примеры решения заданий (21-30)

При решении системы линейных уравнений часто применяется метод Гаусса. Сущность этого метода поясним на примерах.

1. Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Решение.

Исключим из последних двух уравнений х₁. Для этого умножим первое уравнение на -5 и результаты прибавим соответственно ко второму уравнению, затем обе части первого уравнения умножим на -3 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему, эквивалентную данной:

(1)

Разделив обе части второго уравнения системы (1) на 2, получим систему

(2)

Теперь исключим из третьего уравнения системы (2) х₂.

Для этого обе части второго уравнения этой системы умножим на — 7 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему

(3)

Откуда х₃ =3, х₂=1 и х₁=–2. Это решение заданной системы

Приведение данной системы к ступенчатому виду (3) практически более удобно, если использовать преобразования расширенной матрицы данной системы, т. е. матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов этой матрицы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид

.

Умножим элементы первой строки матрицы на — 5 и результаты прибавим к элементам второй строки, затем умножим элементы первой строки на — 3 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

.

Разделив элементы второй строки на 2, получим

.

Элементы второй строки умножим на — 7 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

,

которая позволяет данную систему привести к виду (3) и затем решить ее.

2. Рассмотрим систему уравнений

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

Умножим элементы первой строки последовательно на -2, -4 и -5. Полученные результаты прибавим соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строкам. Получим матрицу

Элементы второй строки умножим на 6 и результаты прибавим к элементам третьей строки, затем элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу

Элементы третьей строки разделим на -2 и затем элементы четвертой строки прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

Теперь элементы третьей строки умножим на 13 и результаты прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу

Следовательно, данную систему можно записать так:

Откуда х₄ =0, х₃=2, х₂=–1 и х₁=–3.

Матрицы, получаемые после соответствующих преобразований, являются эквивалентами. Их принято соединять знаком ~ .

Методические указания и примеры решения заданий (31-40)