Задачи линейного программирования. Графический метод.

Несмотря на то, что графический метод решения задач линейного программирования применяется только для задач с двумя искомыми переменными (или в случае трехмерного пространства с тремя), этот метод позволяет понять основную суть линейного программирования.

Задача 1.

Рассмотрим систему неравенств

(1)

и линейную форму

(2)

Найти минимум и максимум линейной формы (2) из области решений системы (1).

Решение.

Построим выпуклый многоугольник, заданный системой неравенств (1). Для этого построим прямоугольную систему координат х₁ох₂. Если в этой системе координат построить прямую ах₁+bх₂=с, то эта прямая разбивает плоскость х₁ох₂ на две полуплоскости, каждая из которых лежит по одну сторону от прямой. Сама прямая в этом случае называется граничной и принадлежит обеим полуплоскостям. Координаты точек, лежащих в одной полуплоскости удовлетворяют неравенству ах₁+вх₂≤с, а координаты точек, лежащих в другой полуплоскости, удовлетворяют неравенству ах₁+вх₂≥с. Построим в плоскости х₁ох₂ граничные прямые:

1) 4)

2) 5)

3)

В результате получим пятиугольник АВСDЕ (рис. 2)

Значения х₁ и х₂ , удовлетворяющие системе неравенств (1), являются координатами точек, лежащих внутри или на границе найденного пятиугольника. Теперь задача сводится к тому, чтобы найти те значения х₁ и х₂ при которых линейная форма L (2) имеет минимум, и те значения х₁ и х₂ при которых линейная форма L достигает максимума. Из рис. 2 видно, что координаты всех точек, лежащих внутри или на границе пятиугольника, не являются отрицательными, т.е. все значения х₁ и х₂ больше или равны нулю.

Рис. 2

Для каждой точки плоскости х₁ох₂ линейная форма L принимает фиксированное значение. Множество точек, при которых линейная форма L принимает фиксированное значение L₁ , есть прямая , которая перпендикулярна вектору . Если прямую передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора , то линейная форма L будет возрастать, а в противоположном направлении – убывать. Построим прямую для того случая, когда L = 0, т.е. построим прямую . Как видно из рис. 2, при передвижении прямой в положительном направлении вектора она впервые встречается с вершиной А(0;2) построенного пятиугольника АВСDЕ. В этой вершине линейная форма L имеет минимум. Следовательно,

.

При дальнейшем передвижении прямой параллельно самой себе в положительном направлении вектора значение линейной формы будет возрастать, и оно достигает максимального значения в точке С(8;6). Таким образом,

.

Задача 2.

Туристской фирме требуется не более 10 автобусов грузоподъёмностью 3 тонны и не более 8 автобусов грузоподъёмностью 5 тонн. Цена автобуса первой марки 20000 у.е., цена автобуса второй марки 40000 у.е. Туристская фирма может выделить для приобретения автобусов не более 400000 у.е. Сколько следует приобрести автобусов каждой марки в отдельности, чтобы их общая (суммарная) грузоподъёмность была максимальной.

Решение.

Пусть приобретено х₁ трёхтонных, х₂ пятитонных автобусов, тогда заданные условия задачи можно записать так:

или (1)

Линейная форма L (часто её называют целевой функцией) применительно к условиям нашей задачи имеет вид:

(2)

Требуется найти те значения х₁ и х₂, при которых L достигает максимального значения. По условию задачи . Решим задачу графическим методом, который был использован при решении задачи 1. Построим многоугольник АВСDЕ (рис. 3), все точки которого удовлетворяют системе неравенств.

(3)

Затем построим вектор и прямую . Перемещая прямую параллельно самой себе в положительном направлении вектора , установим, что L достигает максимального значения в точке С, для которой х₁ = 10 и х₂ = 5. Следовательно, туристской фирме следует приобрести 10 трёхтонных и 5 пятитонных автобусов. В этом случае общая грузоподъёмность составит 55 тонн. ( )

Методические указания и примеры решения заданий (41-50)

Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и её односторонние пределы в точках разрыва.

3. Найти точки экстремума функции и определить промежутки монотонности (интервалы возрастания и убывания функции).

4. Найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика.

5. Найти асимптоты графика функции.

6. Построить график функции, используя результаты проведённого исследования.

7. Для функции под пунктом а ) найти дополнительно наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [  ;  ].

Пример 1. у = ( х³ + 9х² + 15х – 9).

1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть, D( у): х  (  ; +  ), а это значит, что функция непрерывна на всей числовой оси и её график не имеет вертикальных асимптот.

2) Исследуем функцию на экстремум и определим интервалы монотонности. С этой целью найдём её производную и приравняем к нулю:

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода: Разбиваем этими точками область определения на части, и по изменению знака производной определим промежутки монотонности ( интервалы возрастания и убывания функции ) и наличие экстремума функции:

	(  ,  5 )	 5	( 5,  1 )	 1	( 1, +  )
	+	0		0	+
		max		min	

3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдём вторую производную заданной функции и приравняем её к нулю:

Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода . Разобьём полученной точкой область определения на части, в каждой из которых установим знак второй производной:

	(  ,  3 )	 3	( 3, +  )
		0	+
		т. п.	

Значение х = - 3 является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки

4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот.

Для определения параметров и уравнения асимптот воспользуемся формулами

Для заданной функции

 .

Следовательно, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

5) Для построения графика функции в системе координат хОу изобразим точки максимума А (- 5; 4 ), минимума В (- 1; - 4 ), перегиба С (- 3; 0 ) и точку пересечения графика с осью Оу D ( 0; - 9 / 4 ). С учётом результатов исследования построим кривую ( см. рис.1 ).

6) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [- 3; 0 ]. Для этого вычислим значения функции на концах этого отрезка, в критических точках первого рода, попавших на отрезок, и сравним результаты:

у (- 3) = 0 ; у (- 1) = - 4 ; у ( 0) = - 9/4 .

Очевидно, что у_наиб. (- 3) = 0 ; у_наим. (- 1) = - 4 .

Рис. 1

Пример 2.

1. Область определения функции: D ( у ) = { х  ( -  ; 4 )  ( 4 ; +  ) } .

2. Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки .

Вычислим её односторонние пределы в этой точке:

 ; 

х40 х40 х4+0 х4+0

Таким образом, точка является для заданной функции точкой разрыва, а прямая  вертикальной асимптотой графика.

3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности ( интервалы возрастания и убывания функции).

Найдём производную функции, приравняем её к нулю и найдём корни полученного уравнения:

	(; 2)	2	(2; 4)	4	( 4; 10)	10	(10;+)
	+	0		не сущ.		0	+
		max				min	

у_max = у (2) =  4; y_min = y (10) = 20 .

Обозначим точку максимума А (2;  4 ), точку минимума В ( 10; 20 ) .

4. Исследование графика на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдём вторую производную функции, приравняем её к нулю и найдём корни полученного уравнения (если они есть).

=

Так как  0 , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остаётся выяснить вопрос об интервалах выпуклости и вогнутости графика.

	(   ; 4 )	4	( 4 ; +  )
		не сущ.	+
			

4. Исследование графика на наличие наклонных асимптот:

Следовательно, прямая  наклонная асимптота графика.

6 ) Построение графика.

График заданной функции пересекает ось Оу в точке С ( 0;  5) . Действительно, при функция

Используя все предыдущие результаты исследования, график заданной функции имеет вид, представленный на рис.2.

При построении графика следует вначале провести асимптоты: (вертикальная асимптота) и (наклонная асимптота); затем нанести точки А ( 2;  4 )  max, В ( 10; 20 )  min и С ( 0;  5 )  пересечение с осью ОУ ; и только потом начертить график. При необходимости можно использовать дополнительные точки.

Рис. 2

Методические указания и примеры решения заданий (51-60)