
- •Г.В. Беспалова, а.А. Федоров статистика
- •Часть I
- •1. Статистика как наука
- •1.1. Понятие статистики
- •1.2. Статистическое наблюдение
- •2. Статистическая сводка и группировка. Таблицы и графическое представление статистических данных
- •2.1. Статистическая сводка и группировка
- •2.2. Статистические таблицы
- •2.3. Графическое представление статистических данных
- •3. Статистические показатели
- •3.1. Абсолютные и относительные статистические показатели
- •3.2. Сущность и значение средних показателей
- •3.3. Средняя арифметическая и ее свойства
- •Рассмотрим расчет средней способом моментов:
- •3.4. Другие виды средних
- •1. Средняя гармоническая Средняя гармоническая взвешенная
- •2. Средняя гармоническая простая
- •4. Показатели вариации и анализ частотных распределений
- •4.1. Показатели вариации
- •I. Абсолютные показатели вариации.
- •II. Относительные показатели вариации:
- •4.2. Понятие о закономерностях распределения
- •4.3. Структурные характеристики вариационного ряда распределения
- •Сравнение средних
- •5. Выборочное наблюдение
- •5.1. Выборочное наблюдение как важнейший источник статистической информации
- •5.2. Средняя и предельная ошибки выборки
- •5.3. Способы отбора единиц в выборку
- •5.4. Определение необходимого объема выборки
- •5.5. Оценка результатов выборочного наблюдения и распространение их на генеральную совокупность
- •5.6. Малая выборка
- •Литература
- •Содержание
3.3. Средняя арифметическая и ее свойства
Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.
Средняя арифметическая применяется, если известны значения признака xi и число единиц fi, обладающих этим признаком.
1. Если для каждого xi известна только одна единица, обладающая этим признаком, применяется средняя арифметическая простая (невзвешенная). Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным.
, (11)
где n – число единиц изучаемой совокупности
Пример. Определить среднюю зарплату рабочих бригады по следующим данным:
Ф.И.О. |
зарплата, руб |
|
|
x |
f |
Иванов И.И. Петров П.П. Николаев Н.Н. Семенов С.С. |
600 500 700 400 |
1 1 1 1 |
Рабочий бригады получает в среднем 550 руб.
2. Если в исходных данных известны отдельные значения признака xi и для каждого своя численность единиц fi, применяется средняя арифметическая взвешенная.
,
Пример. Определить средний балл студентов по теории статистики:
группа студентов по баллам |
число студентов, чел |
x |
f |
5 4 3 2 |
5 10 12 2 |
На экзамене по теории статистики студенты получили в среднем 3,5 балла.
При нахождении средней по интервальному вариационному ряду используется следующий порядок расчета:
Закрываются открытые интервалы, приняв их равными ближайшим закрытым.
От интервального ряда переходим к дискретному – в каждом интервале находится середина x=(xmax+xmin)/2, где xmax – верхняя граница интервала, xmin – нижняя.
Расчет производится по средней арифметической взвешенной.
Пример. Определить средний возраст студентов в группе по данным таблицы:
группы студентов по возрасту |
число студентов |
доля студентов |
|
x |
f |
|
|
17–18 18–19 18–20 свыше 20 |
17,5 18,5 19,5 20,5 |
5 15 10 2 |
0,156 0,469 0,313 0,062 |
Средний возраст студента в группе составляет 18,8 года.
В отд. случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в % или долях единицы). В этом случае получаем формулу:
, (12)
Рассмотрим расчет средней способом моментов:
Из всех вариантов xi выбирается какое-то одно за базу отсчета, которое обозначается xо. Может быть выбрано любое xi, но для упрощения расчетов лучше брать xi, имеющее наибольшую частоту fi.
От фактических вариантов xi переходим к условным x i 1, которые вычисляются по формуле:
,
где h – ширина равного интервала.
3. Расчет средней по формуле:
– (начальный) момент
1-го порядка.
Пример. Имеется распределение предприятий по стоимости основных фондов (ОФ).
Определить средний размер стоимости ОФ данных предприятий:
по средней арифметической взвешенной;
способом моментов.
Группы предприятий по стоимости ОФ, тыс. у.е. |
Число предприятий |
|
|
|
|
xi |
fi |
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1–3 3–5 5–7 7–9 9–11 11 и более |
2 4 = xo 6 8 10 12 |
15 30 20 15 15 5 |
–2 0 2 4 6 8 |
–1 0 1 2 3 4 |
–15 0 20 30 45 20 |
Итого |
100 |
– |
– |
100 |
1)
2) основные этапы расчета средней способом моментов представлены в графах 4–6.
Средний размер стоимости ОФ рассматриваемых предприятий составил 6 тыс. у.е.
Свойства средней арифметической.
1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:
Математическое доказательство:
2. Если все усредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину:
3. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз:
4. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:
Исходя из данного свойства можно заключить, что в случае равенства всех весов расчеты по средней арифметической взвешенной и средней арифметической простой приведут к одному и тому же результату.