
- •Г.В. Беспалова, а.А. Федоров статистика
- •Часть I
- •1. Статистика как наука
- •1.1. Понятие статистики
- •1.2. Статистическое наблюдение
- •2. Статистическая сводка и группировка. Таблицы и графическое представление статистических данных
- •2.1. Статистическая сводка и группировка
- •2.2. Статистические таблицы
- •2.3. Графическое представление статистических данных
- •3. Статистические показатели
- •3.1. Абсолютные и относительные статистические показатели
- •3.2. Сущность и значение средних показателей
- •3.3. Средняя арифметическая и ее свойства
- •Рассмотрим расчет средней способом моментов:
- •3.4. Другие виды средних
- •1. Средняя гармоническая Средняя гармоническая взвешенная
- •2. Средняя гармоническая простая
- •4. Показатели вариации и анализ частотных распределений
- •4.1. Показатели вариации
- •I. Абсолютные показатели вариации.
- •II. Относительные показатели вариации:
- •4.2. Понятие о закономерностях распределения
- •4.3. Структурные характеристики вариационного ряда распределения
- •Сравнение средних
- •5. Выборочное наблюдение
- •5.1. Выборочное наблюдение как важнейший источник статистической информации
- •5.2. Средняя и предельная ошибки выборки
- •5.3. Способы отбора единиц в выборку
- •5.4. Определение необходимого объема выборки
- •5.5. Оценка результатов выборочного наблюдения и распространение их на генеральную совокупность
- •5.6. Малая выборка
- •Литература
- •Содержание
II. Относительные показатели вариации:
1. Коэффициент осцилляции (VR):
, (22)
2. Линейный коэффициент вариации (Vd):
, (23)
или
, (24)
3. Коэффициент вариации (V):
, (25)
Показатели определяют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Наиболее часто в практических расчетах применяется показатель относительной вариации – коэффициент вариации. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % (для распределений, близких к нормальному).
В нашем примере: V= 2,9/6 = 48 %
Рассматриваемые предприятия являются неоднородными, а средняя стоимость ОФ (6тыс.у.е.) не типична для заданных предприятий.
Вариация альтернативного признака
Среди множества варьирующих признаков, изучаемых статистикой, существуют признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Эти признаки называются альтернативными. Примером таких признаков являются: наличие бракованной продукции, ученая степень у преподавателя вуза, работа по полученной специальности и т. д. Вариация альтернативного признака количественно проявляется в значении нуля у единиц, которые этим признаком не обладают, или единицы у тех, которые данный признак имеют.
Пусть р – доля
единиц в совокупности, обладающих данным
признаком (
);
q
– доля единиц, не обладающих данным
признаком, причем
.
Альтернативный признак принимает всего
два значения: 0 и 1 с весами соответственно
q
и p.
Определим среднее значение альтернативного
признака по формуле средней арифметической:
Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле:
, (26)
Таким образом,
дисперсия альтернативного признака
равна произведению доли на дополняющее
эту долю до единицы число. Корень
квадратный из этого показателя, т.е.
,
соответствует среднему квадратическому
отклонению альтернативного признака.
Определим дисперсию альтернативного признака по следующим данным: налоговой инспекцией одного из районов города проверено 86 коммерческих киосков, и в 37 обнаружены финансовые нарушения. Тогда
Следовательно, дисперсия и среднее квадратическое отклонение доли коммерческих киосков, имеющих финансовые нарушения, во всей совокупности обследованных киосков равны:
4.2. Понятие о закономерностях распределения
В рассматриваемых вариационных рядах распределения можно заметить определенную зависимость между изменением значений варьирующего признака и частот. Частоты в этих рядах с увеличением значения варьирующего признака первоначально увеличиваются, а затем после достижения какой-то максимальной величины в середине ряда уменьшаются. Это свидетельствует о том, что частоты в вариационных рядах изменяются закономерно в связи с изменением варьирующего признака. Такие закономерности изменения частот в вариационных рядах называются закономерностями распределения.
Одна из важных целей статистического изучения вариационных рядов состоит в том, чтобы выявить закономерность распределения и определить ее характер. Как и статистические закономерности вообще, закономерности распределения наиболее отчетливо проявляются только при массовом наблюдении. Поэтому выявление закономерностей распределения состоит в построении вариационных рядов для достаточно больших по численности статистических совокупностей. Кроме того, большое значение для нахождения закономерностей распределения имеет правильное построение самого вариационного ряда. Речь идет, прежде всего, о таком определении оптимального числа групп и размера интервала, при котором закономерность распределения видна более отчетливо. Если сразу трудно определить оптимальное число групп, то первоначально разбивают совокупность на максимальное их число, а затем, укрупняя интервал и сокращая, таким образом, число групп, стремятся получить такое их число, при котором достаточно явно проявляется характер распределения.
Закономерности распределения выражают свойства явлений, общие условия, влияющие на формирование вариации признака.
Характер, тип закономерностей распределения означают отражение в них общих условий, определяющих распределение. При этом следует учитывать, что речь идет о распределениях, отражающих однородные явления.
Под кривой распределения понимается графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариант.
В статистической практике встречаются разнообразные распределения. Различают следующие разновидности кривых распределения:
одновершинные кривые: симметричные, умеренно асимметричные и крайне асимметричные;
многовершинные кривые.
Для однородных совокупностей, как правило, характерны одновершинные распределения. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух и более вершин делает необходимой перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп.
Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса.
Для симметричных распределений частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Рассчитанные для таких распределений средняя, мода и медиана также равны.
Для таких распределений может быть рассчитан показатель эксцесса (Ек). Ек 0 – островершинное распределение, Ек 0 – плосковершинное распределе-ние.
При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии (Аs). Аs 0 – правосторонняя асимметрия (положительно асиммет-ричное распределение), Аs 0 – левосторонняя асимметрия (отрицательно асимметричное).
Получение кривой распределения можно представить для гипотетического случая, соответствующего бесконечно большому числу единиц совокупности и бесконечно малой ширине интервала ряда. Только при этих идеализированных условиях кривая распределения будет выражать функциональную связь между значениями варьирующего признака и соответствующими им частотами и представлять так называемое теоретическое распределение. Теоретической кривой распределения называется кривая, выражающая общую закономерность данного типа распределения в чистом виде, исключающего влияние случайных для него закономерностей факторов.
При проведении анализа вариационных рядов целесообразно свести эмпирическое распределение к одному из хорошо исследованных видов теоретического распределения, рассматриваемых математической статистикой.
В статистике широко используются различные виды теоретических распределений – нормальное распределение, биноминальное распределение, распределение Пуассона и др. Каждое из теоретических распределений имеет специфику и свою область применения в различных отраслях знания.
Чаще всего в качестве теоретического распределения используется нормальное распределение:
, (27)
где
– ордината кривой нормального
распределения;
– стандартизированная (нормированная)
величина;
e и – математические постоянные;
– варианты вариационного ряда;
– их средняя
величина;
– среднее квадратическое отклонение.
Нормальное
распределение полностью определяется
двумя параметрами
– средней
величиной (
)
и средним квадратическим отклонением
.
Рассмотрим некоторые свойства кривой нормального распределения:
y(t) – функция нормального распределения – четная, т. е. y(–t) = y(+t). Следовательно, изображающая ее кривая распределена симметрично относительно оси ординат, т. е.
;
функция имеет бесконечно малые значения при t = ± . Это означает, что ветви кривой удалены в бесконечность и приближаются к оси абсцисс. При этом, чем больше значения признака отклоняются от
, тем реже встречаются;
функция имеет максимум при t = 0. Отсюда следует, что модального значения кривая достигает при t = 0 или при х =
. Величина максимума составляет
;
при t = ± 1 функция дает точки перегиба. Следовательно, при отклонении значений признака (х) от среднего значения ( ) в положительном и отрицательном направлениях на одно стандартное (нормированное) отклонение (± от ) кривая дает переход от выпуклости к вогнутости;
площадь между кривой и осью ot равна единице, как интеграл Пуассона;
если случайная величина представляет сумму двух независимых случайных величин, следующих каждая нормальному закону, то она тоже следует нормальному закону.
Объективная характеристика соответствия эмпирического распределения нормальному может быть получена с помощью особых статистических показателей – критериев согласия. Известны критерии согласия К. Пирсона, В.И. Романовского, А.Н. Колмогорова и Б.С. Ястремского.