Применение производной для нахождения экстремумов функции

Нахождение локальных экстремумов

Определение 4.6. Внутренние точки области определения непрерывной функции , в которых производная равна нулю, бесконечности или не существует, называются критическими точками данной функции. Те из критических точек, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками.

Определение 4.7. Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если и . Отметим, что интервал называется - окрестностью точки .

Определение 4.8. Точки локального максимума и локального минимума объединены названием точки локального экстремума, а соответствующие значения функции – локальные экстремумы функции.

Замечание. Слово «локальный» переводится как «местный», то есть соответствующее неравенство выполняется только в некоторой - окрестностью точки , а не на всей области определения. Поэтому у функции может быть несколько точек локального максимума (и локального минимума), причём значение функции в точке локального максимума может быть меньше, чем в точке локального минимума. Показать на графике!

Теорема 4.7 (необходимое условие локального экстремума). Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда если является точкой локального экстремума данной функции, то .

Доказательство. Пусть - точка локального максимума. Тогда . Поэтому и . Так как существует конечная производная , то

= = =0,

что и требовалось доказать.

Следствие. Если точка является точкой локального экстремума функции , то либо , либо , либо не существует. В качестве примера можно рассмотреть точку для функций , и соответственно.

Замечание. Обратное утверждение неверно. Так, например, точка не является точкой экстремума функции (показать на графике), однако . Поэтому необходимо указать условие, выполнение которого гарантирует, что точка является точкой локального экстремума функции .

Теорема 4.8 (1 – е достаточное условие локального экстремума). Пусть - критическая точка функции , причём дифференцируема в окрестности . Тогда если производная при переходе через меняет знак с «+» на «-» (с «-» на «+»), то - точка локального максимума (минимума) функции .

Доказательство. Пусть , тогда, по достаточному условию монотонности, - функция возрастает. Аналогично . Тогда , то есть - точка локального максимума.

Пример 4.12. Найти экстремумы функции .

Решение. 1) . 2) найдём с помощью необходимого условия экстремума критические точки первого порядка: , ; точек, в которых производная равна бесконечности или не существует, у функции нет. 3) проверим с помощью первого достаточного условия экстремума, будут ли критические точки точками экстремума

метод интервалов

Вывод. при , при , - точка минимума, .

Замечание. В примере 4.12, как и в большинстве примеров школьного курса, критические точки являются стационарными. Рассмотрим некоторые интересные ситуации, не охваченные школьной программой: а) точка является критической точкой функции (а также точкой минимума), однако не является стационарной; б) точка является критической точкой функции (но не точкой экстремума – не меняется знак), однако не является стационарной; в) точка не является критической точкой функции (хотя при переходе через неё меняется знак), поскольку не входит в область определения функции. Проиллюстрировать на графиках!

Пример 4.13. Найти экстремумы функции .

Решение. 1) . 2) найдём с помощью необходимого условия экстремума критические точки первого порядка: ; ; точек, в которых производная равна бесконечности или не существует, у функции нет (на области определения). 3) проверим с помощью первого достаточного условия экстремума, будут ли критические точки точками экстремума

метод интервалов (обобщённый)

Вывод. при , при , - точка минимума, .

Теорема 4.9 (2 – е достаточное условие локального экстремума). Пусть - критическая точка дважды дифференцируемой функции , причём . Тогда если , то является точкой минимума (максимума) данной функции.

Пример 4.14. Предприниматель реализует свою продукцию по цене за единицу, издержки производства заданы формулой . Найти оптимальный объём выпуска и соответствующую ему прибыль.

Решение. Пусть - объём выпускаемой продукции. Составим функцию прибыли и исследуем её на экстремум. 1) . 2) критические точки первого порядка: , - не принадлежит области определения (отметим, что применение теоремы 4.8 связано с техническими сложностями). 3) критические точки второго порядка , - точка максимума и .

Замечание. Условие не является необходимым условием локального максимума. Так, например, точка является точкой локального максимума функции , однако .

Нахождение глобальных экстремумов

Определение 4.9. Точка называется точкой абсолютного (глобального) максимума (минимума) функции , если и выполняется неравенство . Так, например, точки являются точками абсолютного максимума функции .

Определение 4.10. Число М называется глобальным (абсолютным) максимумом функции на множестве , если и уравнение имеет на не менее одного корня (и не более счётного числа корней). Так, например, число 1 является абсолютным максимумом функции .

Замечание. Основные отличия глобального и локального экстремумов заключаются в следующем: а) локальные экстремумы достигаются только во внутренних точках множества Х, а глобальные – и на границе данного множества; б) на множестве у функции может быть несколько локальных максимумов (или минимумов), а глобальных – не более одного; в) на множестве значение локального максимума может быть меньше, чем локального минимума, а для глобальных экстремумов такая ситуация не возможна. В качестве иллюстрации рассмотреть примеры функций и !

Исходя из вышесказанного, имеет место следующий алгоритм нахождения абсолютных экстремумов функции, заданной на отрезке : 1) найти критические точки функции, принадлежащие интервалу ; 2) вычислить значение функции в этих точках и на концах отрезка; 3) выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.

Следует отметить, что такие значения существуют в силу теоремы Вейерштрасса: непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своего наименьшего и наибольшего значений.

Пример 4.15. Найти абсолютные экстремумы функции на промежутке .

Решение. 1) . 2) , критические точки и 1, но первая из них не входит в область определения, поэтому исключаем её из рассмотрения. 3) ; .

Замечание. При решении примера 4.15 существенное значение имеет тот факт, что точка не входит в промежуток . В противном случае условие непрерывности функции в теореме Вейерштрасса не выполняется и нахождение абсолютных экстремумов усложняется.

Пример 4.16. Количество пассажиров , которые пользуются общественным транспортом, изменяется по закону , где - стоимость проезда. Определить величину максимального дохода от пассажирских перевозок.

Решение. Пусть - величина ожидаемого дохода, тогда . Исследуем данную функцию на экстремум: 1) . 2) . 3) .

Замечание. Не всегда вид исследуемой функции позволяет легко вычислить значения функции в точках и сравнить их между собой. Поэтому важную роль играет следующая

Теорема 4.10. Пусть на некотором промежутке (не обязательно замкнутом) функция непрерывна и имеет единственный локальный экстремум. Тогда этот экстремум является также и абсолютным экстремумом того же смысла на данном промежутке.

Замечание. В формулировке теоремы 4.10 важно, чтобы была точкой локального экстремума, а не просто критической точкой. Например, для функции , заданной на отрезке , точка является критической (в ней не существует производная), но не является точкой абсолютного экстремума.

Вставить задачу о железнодорожной платформе!