Лекции по молекулярной физике / Лекция 9

4.9 Циклы. Цикл Карно.

Важным прикладным приложением термодинамики являются тепловые машины.

Под тепловой машиной понимают устройство, преобразующее некоторую часть внутренней энергии рабочего тела в механическую работу.

Тепловые машины делят на два класса: машины одноразового действия (ракета, пушка и т.п.) и циклические машины (паровые машины, двигатели внутреннего сгорания). В циклических машинах процессы преобразования теплоты в работу периодически повторяются. Для этого нужно, чтобы рабочее тело после получения теплоты от источника, совершив работу, вернулось в исходное состояние, чтобы снова начать такой же круговой процесс.

Циклом называется процесс, начало и конец которого - совпадают. Примером циклического процесса является процесс, изображённый на рис.4.6. Работа цикла складывается из работы самой системы (участок1L₁2) и работы над системой (участок 2L₂1): . Работа цикла численно равна площади фигуры, ограниченной кривой, изображающей цикл. Газ совершает работу на участке 1L₁2 за счёт полученного от нагревателя количества теплоты, а на участке 2L₂1 над газом совершается работа внешними силами. Чтобы работа внешних сил была меньше работы газа, необходимо её совершать при более низкой температуре, а, следовательно, некоторое количество теплоты должно перейти от рабочего тела –газа - к менее нагретому телу – холодильнику.

Утверждение о том, что для совершения полезной работы в циклической машине необходимо участие двух тел с различной температурой, называется принципом Карно.

Схема работы тепловой машины приведена на рис. 4.7.

Цикл, при помощи которого количество теплоты, отнятое от какого-нибудь тела, можно наилучшим образом преобразовать в механическую работу, называется циклом Карно. В качестве рабочего тела здесь выступает идеальный газ. Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат (рис.4.8). На участке 1-2 рабочее тело контактирует с нагревателем (телом с большой теплоёмкостью) и получает от него количество теплоты Q_н . При этом реализуется изотермическое расширение газа (из-за большой теплоёмкости нагревателя его температура не изменяется). Это самый выгодный однократный процесс, при котором всё полученное количество теплоты переходит в механическую работу, согласно первому началу термодинамики:

(4.41)

Участок 2-3 соответствует адиабатному расширению идеального газа. На этом этапе разорван контакт с нагревателем и рабочее тело не обменивается количеством теплоты с другими телами. Это тоже выгодно, поскольку в этом случае газ совершает работу за счёт собственной внутренней энергии, вследствие чего она уменьшается, температура газа становится равной Т₂ . Согласно первому началу термодинамики,

(4.42)

На участке 3-4 рабочее тело приводится в тепловой контакт с холодильником, имеющим большую теплоёмкость и температуру Т₂. Здесь при более низкой температуре газ сжимают изотермически, совершая над ним работу, численно равную отданному холодильнику количеству теплоты, работа же самого газа, так же, как и отданное количество теплоты, отрицательна:

(4.43)

При более низкой температуре, когда внутренняя энергия меньше первоначальной, газ сжимать легче, поэтому работа А₃₄ меньше работы А₁₂. Изотермическое сжатие опять-таки является самым выгодным, поскольку не нужно изменять внутреннюю энергию газа, затрачивая на это дополнительную работу внешних сил. На последнем участке цикла Карно необходимо вернуть газ в первоначальное состояние наивыгоднейшим образом, то есть адиабатно сжать его. При адиабатном сжатии нет теплового контакта рабочего тела с холодильником, а работа внешних сил полностью идёт на увеличение внутренней энергии газа:

(4.44)

Полезная работа за цикл равна алгебраической сумме работ каждого участка цикла Карно: . Сравнение формул (4.41) и (4.44) позволяет заключить, что работа газа на участке 2-3 по величине равна работе газа на участке 4-1, но противоположна по знаку, следовательно, алгебраическая сумма работ на этих участках равна нулю, а работа за цикл будет определяться суммой работ участков 12 и 34:

(4.45)

Для дальнейшего преобразования полезной работы рассмотрим уравнения адиабаты на участках 2-3 и 4-1, записанные через объём и температуру: и . Поделим второе уравнение на первое и получим: или . Учитывая это равенство, можно вынести за скобки натуральный логарифм отношения объёмов в формуле (4.45) и получить выражение для полезной работы за цикл Карно:

(4.46)

Эффективность работы тепловых машин характеризуют коэффициентом полезного действия , определяемым как отношение полезной работы, произведённой за цикл, к количеству теплоты, полученному от нагревателя за цикл:

(4.47)

Подставим в эту формулу полезную работу, произведённую за цикл Карно, определяемую по формуле (4.46), и количество теплоты, полученное от нагревателя, определяемое по формуле (4.41), после преобразования получим выражение для расчёта коэффициента полезного действия (КПД) цикла Карно:

(4.48)

Эта формула пригодна только для расчёта КПД цикла Карно. КПД других циклов рассчитывают, используя общую формулу (4.47). В случае, когда имеется несколько нагревателей, можно рассчитать полученное количество теплоты, суммируя количества теплоты от каждого нагревателя, по формуле: .

Анализируя цикл, реализуемый в идеальной тепловой машине, Карно доказал два важных положения, известных как теоремы Карно.

Первая теорема Карно: КПД идеального цикла Карно не зависит от рода рабочего тела.

Вторая теорема Карно: цикл Карно обладает наибольшим КПД по сравнению со всеми другими циклами в том же интервале температур.

Доказательство теорем Карно см. в [1-3].

4.10 Цикл Отто

Цикл Отто реализован в карбюраторных двигателях, использующих высокосортные быстро сгорающие сорта бензинов. Он изображён на рис.4.9.

Реальные машины используют порцию горючего за один цикл, затем отработанное топливо должно быть выброшено, а цилиндр двигателя – пополнен новой порцией горючего. Всасывание топлива происходит на участке 0-1 цикла Отто (рис.4.9), а выброс – на участке 1-0.

Участок 1- 2 диаграммы соответствует адиабатному (быстрому) сжатию топлива. При адиабатном сжатии внутренняя энергия паров бензина повышается, повышается температура и в состоянии 2 горючее воспламеняется при помощи искры. Так как оно сгорает быстро, процесс 2-3 можно считать изохорическим, поскольку объём не успевает измениться, а давление возрастает. На этом этапе за счёт сгорания топлива к рабочему телу поступает количество теплоты Q_Н , которое определяется по формуле:

(4.49)

На участке 3-4 газ быстро адиабатно расширяется (рабочий ход поршня). При этом его внутренняя энергия, а, следовательно, и температура уменьшается. Дальнейшее охлаждение газа до первоначальной температуры происходит изохорически (участок 4-1). При этом часть количества теплоты, полученной от нагревателя, отдаётся холодильнику. Холодильником для двигателей внутреннего сгорания обычно является атмосфера. Количество теплоты, отданное холодильнику, согласно первому началу термодинамики для изохорического процесса, определяется по формуле:

(4.50)

Поскольку в данном цикле только на одном участке 2-3 тепло поступает к рабочему телу и на одном участке 4-1 отдаётся холодильнику, полезная работа такого цикла может быть определена из формулы: . Тогда КПД такого цикла может быть рассчитан по формуле (4.47). С учётом (4.49) и (4.50) КПД цикла Отто равен:

(4.51)

Из уравнений Пуассона для адиабат и и найдём , а отсюда . После учёта этого формула (4.51) примет вид:

(4.52)

Из этой формулы видно, что увеличение степени сжатия , увеличивает КПД цикла, а также видно, что КПД зависит от числа степеней свободы вещества топлива. Следует отметить, что минимальной температурой в данном цикле является температура Т₁ , а максимальной – Т₃. В формулу (4.52) входит температура Т₂, которая меньше, чем Т₃. Поэтому КПД цикла Отто меньше КПД цикла Карно при том же интервале температур:

.

4.11 Цикл Дизеля

Цикл Дизеля реализован в двигателях, работающих на низкосортном, относительно медленно сгорающем топливе. Он изображён на рис.4.10. На участке 0-1 цикла Дизеля происходит впрыскивание горючего, а выброс – на участке 1-0. Участок 1-2 соответствует адиабатному сжатию, при котором, как известно, повышается температура. В состоянии 2 горючее самовоспламеняется и относительно медленно сгорает, так, что поршень успевает прийти в движение. Поэтому участок 2-3 можно считать изобарическом процессом, причём за счёт сгорания топлива, в систему поступает количество теплоты Q_Н . Согласно первому началу термодинамики, оно идёт на совершение поршнем работы и на увеличение внутренней энергии рабочего тела. Количество теплоты можно выразить через теплоёмкость изобарического процесса :

(4.53)

Участок 3-4 соответствует быстрому расширению рабочего тела, то есть адиабатному расширению. Рабочее тело совершает работу за счёт собственной внутренней энергии, при этом его температура уменьшается. Охлаждение рабочего тела до первоначальной температуры происходит изохорически (участок 4-1), при этом холодильнику отдаётся количество теплоты:

(4.54)

КПД цикла Дизеля может быть рассчитан по формуле (4.47), с учётом формул (4.53) и (4.54), получим:

(4.55)

КПД цикла Дизеля также меньше, чем КПД цикла Карно в том же температурном интервале. КПД тепловых двигателей невысок и при часто используемых температурах нагревателя и холодильника он равен 30 ÷ 40%.