4. Зоны энергии

Электрон в твёрдом теле заведомо находится в связанном состоянии, согласно общим положениям квантовой теории его энергия должна квантоваться, то есть собственные значения гамильтониана должны быть дискретны. Мы увидим сейчас, как она квантуется. Напишем гамильтониан:

Потенциальная энергия выглядит, конечно, сложным образом: это потенциальные ямы в окрестности атомов, и её не только ядра создают, там и все электроны. Выражение для гамильтониана задать очень сложно, надо учитывать взаимодействие электронов между собой, взаимодействия с ядрами, взаимодействие ядер между собой…, но нам это не важно, нам важно одно – эта функция периодическая. Напишем уравнение на собственные значения гамильтониана, где функция имеет такой вид :

или

Для каждого имеются значения, при которых это уравнение имеет решение, и тогда каждомубудут соответствовать собственные функции. Таким образом, стационарные состояния электронов в металле задаются двумя переменными: вектороми числомn, им отвечает функцияи энергия. Напишем окончательно так:

Вот главный результат от всей этой науки, и всё это добыто как следствие трансляционной инвариантности решётки (вся физика переходит в себя при сдвигах с определённым вектором). Что мы получаем? Вот у нас энергетическая шкалаE, возможные значения энергии определяются величинами. Фиксируемn, получаем какую-то функцию от, которая имеет минимальное значение и максимальное.n =2, мы опять имеем полосу энергий, при каком-то значенииона минимальна, при каком-то значенииона максимальна. И в результате мы получаем, что энергия электронов в металле может лежать в пределах, так называемых,энергетических зон.

Для малых значений n эти зоны не перекрываются, но при больших значенияхnони начинают перекрываться. Ещё более детальный анализ показывает, что имеются уровни энергий для электрона в атоме, когда эти атомы построятся в решётку, то эти уровни энергий расщепляются на зоны (рис. 4.2). Число уровней, на которые расщепляется начальный, равно 2N, гдеN– число атомов.

Чтоб с этим кончить, какие значения принимает вектор? В прошлый раз мы обсуждали понятие обратной решётки, векторимеет размерность обратной длины, значит векторэто вектор, принадлежащий обратной решётке. Все значения векторав пределах элементарной ячейки отвечают определённым состоянию, если мы переходим в соседнюю ячейку, то там все состояния повторяются. Поэтому, если– трансляционный вектор обратной решётки, то выполняются условия:,.

5. Уравнения движения электронов в твёрдом теле

Функция определяет стационарное состояние в твёрдом теле. Для частицы в вакууме функцияопределяет состояние с импульсом. Такая функциядля электронов в твёрдом теле определяет состояние, величинаназываетсяквазиимпульсом. Настоящий импульс электрона в металле меняется сложным образом. Для частицы в пустоте из волновых функцийможно соорудить волновой пакет, и этот пакет будет иметь групповую скорость. Для частицы в пустоте в состоянииэнергия,и. Для электрона в твёрдом телеопределяет энергию электрона в состоянии, скорость волнового пакета, который можно построить для электрона будет определяться по аналогииэта формула определяет скорость электрона в твёрдом теле. Тогда уравнение движения электрона в твёрдом теле, оказывается, имеет такой вид:

где – напряжённость и индукция внешнего электромагнитного поля.

- это сила Лоренца, квазиимпульс меняется, как импульс свободной частицы, под действием этой самой силы Лоренца. Импульс электрона должен был бы чувствовать все микроскопические поля, волновой пакет, представляющий электрон в твёрдом теле, сквозит через кристаллическую решётку, не чувствуя никаких локальных полей. Но это только для правильной решётки.