1.2. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Импульс (количество движения) материальной точки

Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки)

=m = .

Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки

.

Сила трения скольжения

Fтр = f N,

гдеf - коэффициент трения скольжения; N- сила нормального давления.

Сила трения качения

Fтр = ,

гдеf_k - коэффициент трения качения; г - радиус катящегося тела.

Закон сохранения импульса для замкнутой системы

где n - число материальных точек (или тел), входящих в систему.

1 .З. Работа и энергия

Работа, совершаемая постоянной силой,

,

где F_s - проекция силы на направление перемещения;

- угол между направлениями силы и перемещения.

Работа, совершаемая переменной силой, на пути s

А= .

Средняя мощность за промежуток времени

Мгновенная мощность

или .

Кинетическая энергия движущегося со скоростью v тела массой m

T= .

Связь между силой, действующей на тело в данной точке поля, и потенциальной энергией тела

или

- единичные векторы координатных осей.

Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью земли на высоту h,

П =mgh,

гдеg - ускорение свободного падения.

Сила упругости

F=-kx

где х - деформация; к- коэффициент упругости.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

.

Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)

Т + П = Е =.соnst.

Коэффициент восстановления

где и -соответственно нормальные составляющие относительной скорости тел после и до удара.

Скорости тел массами m₁и m₂ после их абсолютно упругого центрального удара

,

,

где v₁ и v₂ - скорости этих тел до удара.

Скорость тел массами m₁ и m₂, движущихся соответственно со скоростями v₁ и v₂, после абсолютно неупругого центрального удара

.

1.4.Механика твердого тела

Момент инерции материальной точки

,

где m-масса точки; r-расстояние до оси вращения.

Момент инерции системы (тела)

,

где r_{і -} расстояние материальной точки массой m _і до оси вращения; в случае непрерывного распределения масс

.

Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; m масса тела):

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии	mR2
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	То же
Прямой тонкий cтержень длиной	Ось перпендикулярна cтержню и проходит через его середину
То же	Ось перпендикулярна и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

Теорема Штейнера

_,

где J_с- момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; J — момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m —мас-са тела.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной осиz,

_,

где J_z — момент инерции тела относительно оси; -его угловая скорость.

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости бёз скольжения,

T= ,

где m- масса тела;v_c — скорость центра масс тела; J_c — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; — угловая скорость тела.

Момент силы относительно неподвижной точки

,

где — радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы . Модуль момента силы

М=F ,

где — плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

Работа при вращении тела

А=М_z d ,

где d — угол поворота тела; М_z — момент силы относительно оси z.

Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси

вращения

,

где r_{і -} расстояние от оси z отдельной частицы тела ; m_і v_і –импульс этой частицы; J_z –мо-

мент инерции тела относительно оси z ; -его угловая скорость.

Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

,

ε— угловое ускорение; J_z — момент инерции тела относительно оси z.

Закон сохранения момента импульса (момента количества движения) для замкнутой системы

.

Напряжение при упругой деформации тела

,

где F - растягивающая (сжимающая) сила; S—площадь поперечного сечения тела.

Относительное продольное растяжение (сжатие)

,

где — изменение длины тела при растяжении (сжатии)

—длина тела до деформации.

Относительное поперечное растяжение (сжатие)

где — изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии);d— диаметр стержня.

Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)

где Е-модуль Юнга.

Потенциальная энергия упруго растянутого (сжатого) тела

,

где V-объем тела.

1.5. Элементы специальной (частной) теории относительности

Преобразования Лоренца

x^' = , у^'=у, z^'=z‚ ,

где предполагается, что система отсчета К^' движется со скоростью v в положительном направлении оси x системы отсчета К, причем оси х^' и х совпадают, а оси у^' и у, z^' и z, параллельны; с — скорость распространения света в вакууме.

Релятивистское замедление хода часов

^{' =}

Где -промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами; ^'- промежуток времени между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами.

Релятивистское (лоренцево) сокращение длины

,

l₀— длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой стержень покоится (собственная длина); l— длина стержня, измеренная в системе отсчета относительно которой он движётся со скоростью v.

Релятивистский закон сложения скоростей

_{, , ,}

где предполагается, что система отсчета К^' движется со скоростью v в положительном направлении оси х системы отсчета К, причем оси х^' и х совпадают, оси у^' и у,z^' и z параллельны.

Интервал S₁₂ между событиями (инвариантная величина)

где t₁₂ — промежуток времени между событиями 1 и 2;

l₁₂— расстояние между точками, где произошли события.

Релятивистский импульс частицы

,

где m — масса частицы.

Основной закон релятивистской динамики

,

где релятивистский импульс.

Полная и кинетическая энергия релятивистской частицы

; Т=Е-Е_{0 ,}

где Е ₀ — энергия покоя (m масса частицы; с — скорость распространения света в вакууме).

Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы

Е² = m²с⁴ + р²с ^{2 ,} pc= .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Диск радиусом R = 5 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением = 2Аt + 5Вt ⁴

(А =2рад/с ², В = 1 рад/с ⁵). Определить для точек на ободе диска к концу первой секунды после начала движения: 1) полное ускорение; 2) число оборотов, сделанных диском.

Дано:R=5см=0,05м, В=5см=0,О5м, =2Аt+5Вt ⁴, А=2рад/с², В=1рад/с⁵, t = 1 с.

Определить: 1) а; 2) N.

Решение. Полное ускорение , где тангенциальная составляющая ускорения ( -угловое ускорение), а нормальная составляющая ускорения

.

По условию задачи следовательно,

,

,

откуда полное ускорение

.

Угол поворота диска (N —. число оборотов), но угловая скорость следовательно,

.

. Тогда число оборотов, сделанных диском,

.

Проверим единицы измерения.

[а]= [м ] = , N-единиц измерения не имеет.

Подставив числовые данные , получим :

а = = 4,22(м/с²),

N= =0,477 0,5.

Ответ: 1) а = 4,22 м/с ² , 2 ) N 0,5.

Задача 2. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого J = 0,1 кг м², намотан шнур к концу которого привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h ₀ =1м. Через какое время t груз опустится до пола? Найти кинетическую энергию W _k, груза в момент удара о пол и силу натяжения нити Т.Трением пренебречь.

Дано: R=20 cм = 0,2м , J=0,1кгм ² , m=0,5кг, h₀ =1м

Определить: 1) t; 2) W_{k ;} 3) Т.

Решение.

При опускании груза его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию поступательного движения и кинетическую энергию вращательного движения: - (1),

где , откуда или

; (2).

Движение равноускоренное, поэтому Рис.1

(3); Рис.1

. (4).

Выразим t из (4) и подставив в 2) получим:

;

Кинетическая энергия , подставив уравнение (2), получим

.

По второму закону Ньютона

mg -T= ma , откуда T= m(g-а) .

Из (3): ,

Тогда .

Проверим единицы измерения и проведем вычисления t, W_K и Т.

= ,

, .

Ответ: t=1,1с; W_k=0,82Дж; Т=4,1Н.

Задача 3. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от центра шара до точки подвеса стержня 1=1 м. Найти скорость v пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол а =10°.

Дано: М=1000 m, =1м , .

Определить v.