8.4. .Вероятностное описание однородного потока событий

Вероятностное описание однородного потока событий сводится к оценке вероятности их наступления в количестве k за промежуток времени t, например, прихода в магазин k покупателей за t = 1 ч, поступлений в справочное бюро k запросов и т. п.

В теории систем массового обслуживания доказывается, что вероятности обсуждаемых дискретных величин k подчиняются распределению Пуассона:

P_k = (^k/k!)exp(–). (1)

В этой формуле для рассматриваемого промежутка времени обозначены:

• k – число наступающих событий (случайная величина);

• P_k – вероятность наступления событий;

•  – интенсивность наступления событий (их среднее число).

Распределение было получено Пуассоном в 1837 г. и носит названия закона Пуассона и закона редких событий.

Сумма вероятностей P_k появлений всех значений k равна единице при любой величине .

Единственный параметр распределения Пуассона  численно равен среднему значению k_ср и дисперсии ² случайной величины:

² = k_ср = . ???????

Распределение Пуассона асимметрично, степень асимметрии зависит от параметра . С увеличением  асимметрия уменьшается. При  > 9 распределение Пуассона достаточно хорошо представляется нормальным законом с приведенными параметрами.

8.5. Задачи управления с однородными пококами событий.

В тех случаях, когда поток событий в системе массового обслуживания можно полагать простым однородным, распределение Пуассона позволяет получить полезные для управления и планирования вероятностные оценки пропускной способности системы.

Задача 1.

Расчет вероятностей обрывов нити на ткацком станке за смену.

Текстильные ткани вырабатываются на ткацких станках, работающих автоматически, но требующих «ручного» устранения случающихся обрывов нити. Эти операции определяют загруженность станочницы. Число обслуживаемых ею станков планируется в зависимости от количества ожидаемых обрывов нити.

Математическая постановка задачи.

На ткацком станке обрыв нити и его устранение станочницей случаются в среднем 0,375 раза в течение часа работы, образуя однородный простой поток случайных событий, подчиняющихся распределению Пуассона (1).

Требуется рассчитать с 95%-й доверительной вероятностью ожидаемое число обрывов нити на одном станке за 8-часовую рабочую смену.

Решение задачи

При промежутке времени, равном 8-часовой смене, среднее число наступления событий (обрывов) составляет

 = 0,375  8 = 3.

По формуле (1) для каждого k = 0, 1, 2, … находится вероятность этого числа обрывов нити. Их график P_k представлен на рисунке.

Интегральная кривая F_k и кривая плотности вероятностей P_k при  = 3

Из графика P_k видно, что наиболее вероятны 2 – 3 обрыва нити за смену. Количество обрывов k > 6 и отсутствие обрывов маловероятны (менее 0,05).

Интегральная (накопительная кривая) F_k отвечает суммарной вероятности обрывов от 0 до k включительно. Из кривой F_k следует, что вероятность отсутствия обрывов или их количества до 6 превышает 0,95. Число обрывов нити свыше 6, то есть 7, 8 или 9, маловероятно, и им можно пренебречь.

Таким образом, при планировании числа ткацких станков, обслуживаемых одной станочницей, можно принять, что на одном станке за смену с доверительной вероятностью не менее 0,95 происходит не более 6 обрывов нити.

Вычисления и графические построения легко выполняются в Excel с использованием встроенной функции ПУАССОН(x; среднее; интегральная) категории Статистические. Функция возвращает вероятности P_k или F_k и имеет три аргумента:

• x – количество событий, т. е. параметр k в формуле (1);

• среднее   – интенсивность наступления событий (их среднее число за рассматриваемый промежуток времени), т. е. параметр  в формуле (1);

• интегральная   – логические 0 (ЛОЖЬ) или 1 (ИСТИНА), что определяет форму возвращения распределения вероятностей (соответственно P_k или F_k).

Задача 2.

Расчет пропускной способности пункта доставки телеграмм

Телеграфный пункт, обеспечивая поступление и доставку телеграмм, является системой массового обслуживания. Имеется некоторое количество разносчиков телеграмм (каналов обслуживания), которые доставляют адресатам телеграммы, поступающие в случайные моменты времени одна за другой в виде однородного простого потока случайных событий. Доставка поступившей телеграммы и возвращение на телеграфный пункт продолжается некоторое время, после чего разносчик (канал обслуживания) освобождается и готов для приема следующей телеграммы (заявки).

Математическая постановка задачи

Пусть плотность потока телеграмм  равна двум в час ( = 2). Каждая телеграмма после поступления без задержки передается свободному разносчику, который затрачивает для доставки телеграммы адресату и возвращения на телеграф в среднем  = 2,5 часа. Пропускная способность системы характеризуется:

• а – средним числом разносчиков, одновременно находящихся в пути (средней интенсивностью потока событий по доставке телеграмм);

• P_k – вероятностью того, что одновременно потребуется k разносчиков.

Если бы ^* = 0,4, то есть телеграммы поступали в среднем по одной каждые 2,5 часа, то средняя интенсивность потока событий по непрерывной доставке телеграмм а^* = ^*= 2,5  0,4 = 1 (в пути каждый час находился 1 разносчик). Если плотность потока телеграмм вдвое увеличивается (^** = 0,8), то интенсивность событий по непрерывной доставке телеграмм также возрастает вдвое до а^** = ^** = 2,5  0,8 = 2, то есть до 2 разносчиков в пути каждый час.

Решение задачи

Для заданного потока поступления телеграмм с  = 2 интенсивность событий по непрерывной доставке а =  = 2,5  2 = 5, то есть для непрерывной доставки телеграмм в пути ежечасно необходимы в среднем 5 разносчиков.

Средняя интенсивность загрузки разносчиков в течение часа складывается из их возможных случайных занятостей, определяемых простым однородным потоком поступления телеграмм и случайными затратами времени на их доставку. Следовательно, вероятность занятости разносчиков подчиняется закону Пуассона (12.1). Он при интенсивности наступления событий по непрерывной доставке телеграммы, обозначаемой а, выражается формулой

P_k = (а^k/k!)exp(– а). (12.3)

Расчеты P_k и его график показывают, что наиболее вероятны P₄ = P₅ = 0,175, то есть занятость 5 разносчиков. Их простой маловероятен (P₀ = 0,0067) и составляет всего 6,7 часов из 1000 часов рабочего времени. Вместе с тем имеется вероятность привлечения более 5 разносчиков или возникновения опозданий в доставке телеграмм. Для оценки вероятностей опозданий в доставке телеграмм удобна интегральная кривая F_k.