4. Визначення максимального та мінімального значень головних напружень та відповідних векторів напрямних косинусів за методом ітерацій

Розв’язуючи перше рівняння системи відносно , друге – відносно , а третье – відносно , дістанемо:

де k – номер поточної ітерації.

Через те що визначник системи дорівнює нулю, а кожне рівняння системи лінійно залежить від решти рівнянь, будь-яку з координат власного вектора можна задати довільно, отже, ми приймаємо значення третього елемента власного вектора рівним одиниці . Наведемо результати для перших восьми ітерацій.

Як бачимо, значення власного числа та власного вектора матриці вікового рівняння за результатами двох різних чисельних методів співпадають у межах допустимої похибки, що свідчить про їх достовірність, при цьому також будуть однакові значення головних напружень та значення напрямних косинусів.

5. Побудова графіка визначника тензору напружень у діапазоні

Для побудови графіка на усьому інтервалі скористаємось вже відомими значеннями Визначимо значення детермінанта тензору напружень у двадцяти точках , при цьому крок зміни аргумента (власного значення матриці) визначиться як одна двадцята від максимального значення напруження. Наведемо декілька значень визначника для різних власних значень:

Крива залежності визначника тензору напружень

в околі головного напруження

За графіком п.5 ми бачимо, що друге напруження знаходиться в околі значення 400 МПа, тому побудуємо графік , змінюючи значення аргумента десь від 240 до 575 МПа.

6. Побудова інтерполянти 4-го степеня для опису залежності визначника тензору напружень від напружень у околі

Для побудови інтерполянти у вигляді алгебраїчного полінома 4-го степеня приймаємо координати 5-ти базових точок, узятих з графіка п.6 у зазначеному диапазоні:

,

де лівий стовпчик – власне значення матриці, правий – значення визначника.

Складемо систему рівнянь п’ятого степеня відносно шуканих параметрів інтерполянти:

Наведемо реалізацію розв’язування СЛАР відносно параметрів інтерполянти:

Таким чином, маємо функцію, яка описує залежність між власним значенням (напруженням) та визначником тензору у вигляді інтерполянти:

.

7. За методом Ньютона розв’язування нелінійного рівняння для визначення другого у спектрі головного напруження

На основі функції-інтерполянти для опису значення визначника визначимо значення другого числа тензору матриці. Для цього розв’яжемо нелінійне рівняння за методом Ньютона модифікованим: . У нашому випадку:

Як видно з графіку п.6, шукане значення другого напруження знаходиться у околі значення 400 МПа, за початкове наближення шуканого корня приймаємо наближено значення лівої границі відрізку ізоляції корня рівне 300 МПа.

За методом Ньютона модифікованим будуємо ітераційний процес уточнення корня, яким є значення другого головного напруження за формулою:

.

Наведемо результати перших 25 ітерацій уточнення корня у програмі MSExcel:

Таким чином, маємо значення проміжного напруження 382.9918 МПа.

Власні значення до вихідної матриці – тензору напружень запишуться:

673.906 (п.2) – відповідає (за методом вичерпування)

382.9918 (п.7) – відповідає (за інтерполянтою)

0.007013 (п.3) – відповідає (1/0.007013=142.83667)

Випишемо значення елементів спектру головних напружень за результатами різних чисельних методів (п.2, п.7, п.3) :

673.906 МПа (п.2)

382.9918 МПа (п.7)

142.83667 МПа (п.3).