1. Основні теоретичні відомості. Постановка задачі

Найважливішою задачею іеженерного розрахунку є оцінювання міцності матеріалу конструкцій за допомогою критеріїв міцності. До одних із факторів, вплив яких на міцність при складному напруженому стані вважаються вирішальними є нормальні і дотичні напруження. Умови міцності при складному напруженому стані можна виразити аналітично у вигляді функції трьох нормальних напружень – головних напружень. Ці напруження діють по нормалі до трьох взаємно перпендикулярних головних площинок. Головними називають такі площинки, на яких дотичні напруження дорівнюють нулю.

Тривісний (обємний) напружений стан є найскладнішим загальним випадком, оскільки жодне з головних напружень не дорівнює нулю, при цьому спектр головних напружень позначають таким чином, що –найбільше, –проміжне, – найменше.

При розрахунках на міцність оперують координатними нормальними і дотичними напруженнями, які діють на площинках, повернутих відносно головни площинок на деякі довільні кути.

Координатні напруження мають два індекса, перший показує якій осі паралельне напруження, а другий – до якої осі перпендикулярна площина дії напруження. За законом парності дотичних напружень . Сукупність шести напружень, що описують напружений стан у точці називають тензором напружень і задають матрицею, яка у нашому прикладі є наступною:

(МПа).

Координатні напруження пов’язані із системою координат, у якій описано геометрію конструкції, на наступному рисунку наведено елементарний паралелепипед, виділений з тіла конструкції та із діючтми на нього координатними нормальними та дотичними напруженнями:

У теорії пружності доводиться наступне – якщо відомо матрицю напружень у точці тіла, то її власні значення будуть головними напруженнями у цій самій точці, а власні вектори будуть визначати напрямки головних площинок, на яких ці напруження діють. Кожному головному напруженню відповідають три компоненти власного вектора, при цьому кожен з них є напрямним косинусом до площинки, на якій діє головне напруження:

Отже, ставиться задача – визначити значення головних напружень , , та орієнтацію головних площинок у яких вони діють .

2.Визначення максимального значення головного напруження та відповідного вектору напрямних косинусів за методом вичерпування

Ітераційний процес чисельного методу вичерпування будуємо за формулою:

,

де – номер ітерації,

– вихідна матриця тензору напружень,

– шуканий власний вектор матриці ,

– шукане власне значення матриці .

Таким чином, праворуч від знака дорівнює знаходяться результати поточної ( )-ої ітерації визначені на основі результатів попередньої ( )-ої ітерації. За елементи вектора початковогo наближення приймаємо олиничний вектор, ітераційний процесс автоматизуємо у програмі MSExcel. Наведемо результати для перших декількох ітерацій:

Відповідно до результатів, власне число матриці тензору, яке відповідає максимальному головному напруженню дорівнює 673.906 МПа.

3. За методом вичерпування визначення мінімального головного

напруження та відповідного власного вектору

Для визначення найменшого власного значення помножимо систему на зворотню матрицю : . Беручи до уваги те, що і помножуючи ліву та праву частини системи на , дістанемо , де . Отже, знайдемо значення мінімального головного напруження як . Значення елементів оберненої матриці визначимо у програмі MSExcel з використанням процедури =МОБР(). Далі наведемо результати ітераційного обчислення мінімального напруження автоматизованого у MSExcel (п’ять ітерацій):

Третье власне число для матриці – тензору напружень знайдене на десятій ітерації 0.007001, воно відповідає мінімальному значення головного напруження 142.83667 МПа.