- •1.Финитные функции.
- •2. Свертка финитных функций
- •3. Линейные операторы и функционалы в пространстве финитных функций.
- •4.Определение обобщенной функции. Примеры обобщенных функций.
- •5.Определение обобщенной функции. Алгебраические действия над обобщенными функциями.
- •6.Дифференцирование обобщенных ф-ций
- •7.Интегрирование обобщенных функций.
- •8. Носители обобщенных функций.
- •9. Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными импульсными характеристиками: основные определения и свойства.
- •11. Композиция эволюционных операторов
- •12.Композиция эволюционных операторов Вольтерра-Винера.
- •13.Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными спектральными характеристиками: основные пространства, обобщенное преобразование Лапласа.
- •14.Квазиобращение эволюционных операторов с обобщенными спектральными характеристиками.
3. Линейные операторы и функционалы в пространстве финитных функций.
Сформулируем необходимое и достаточное условие непрерывности линейного функционала на пространстве .
Теорема 1 (критерий непрерывности линейного функционала на пространстве ).
Линейный функционал на пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен на любом подпространстве .
Доказательство. Пусть f— линейный функционал на пространстве . В силу определения функционал f непрерывен тогда и только тогда, когда .
Тогда, используя определение полинормы в пространстве , преднорма тогда и только тогда, когда сужение преднормы на любом подпространстве принадлежит .
Но сужение преднормы на подпространство совпадает с модулем функционала, который является сужением функционала f на подпространстве .
Таким образом, преднорма тогда и только тогда, когда
сужение функционала f на любое подпространство непрерывно, т.е. функционал f непрерывен тогда и только тогда, когда его сужение на любое подпространство непрерывно, что и требовалось доказать.
Теорема 2 (критерий непрерывности линейного оператора, определенного на пространстве ).
Линейный оператор, отображающий в полинормированное пространство, непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен на любом подпространстве .
В качестве примера применения теоремы 2 рассмотрим оператор дифференцирования , определенный на всем пространстве следующим образом: .
Очевидно, что — линейный оператор, отображающий пространство в пространство . Докажем его непрерывность. Зафиксируем и рассмотрим сужение оператора на подпространстве .
Тогда для любого и любого имеем: ,
: t Е IR, О < j run} ~ p (m+') (x),
откуда следует, что — непрерывный оператор, действующий в . Следовательно, применяя теорему, получим, что оператор является непрерывным оператором из в .Теорема 3 (секвенциальный критерий непрерывности линейного функционала на пространстве ).
Линейный функционал f на пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности , сходящейся к нулю в пространстве , числовая последовательность сходится к нулю.
Теорема 4 (секвенциальный критерий непрерывности линейного оператора, определенного на ),Пусть Y - полинормированное пространство.Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности из , сходящейся к нулю в пространстве , последовательность сходится к нулю в пространстве .
Теорема 5 (o непрерывности ограниченного линейного оператора на пространстве ).Пусть полинормированное пространство.
Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда онограничен.
Следствие (o непрерывности ограниченного функционала на пространстве ).
Линейный функционал на пространстве непрерывен тогда и ТОЛЬКО тогда, когда он ограничен.
Непрерывные линейные функционалы на пространстве в теории обобщенных функций называются обобщенными функциями.
Теорема 6 (об эквивалентных условиях непрерывности линейного функционала на пространстве ).
Пусть –линейный функционал на пространстве .
Следующие условия эквивалентны:
f непрерывен;
f непрерывен на любом подпространстве ;
для любой последовательности , сходящейся к нулю в пространстве , числовая последовательность сходится к нулю;
f ограничен.