3.2. Параллельная структура и ее свойства

В параллельной структуре (рис. 3.1б) входной сигнал поступает на входы обоих блоков, а выходные сигналы суммируются так, что уравнение преобразования принимает вид Y = (K1+K 2) ^. X. Представим комплексные коэффициенты передачи в тригонометрической форме: K1 = k₁(cos ₁+jsin ₁), K2 = k₂(cos ₂+jsin ₂) и получим формулу для общего коэффициента передачи в виде

K = (k₁^. cos ₁ + k₂ ^. cos ₂) + j(k₁ ^. sin ₁ + k₂ ^. sin ₂).

Модуль k и фаза  комплексного коэффициента передачи будут соответственно определяться выражениями

Так как в большинстве практических случаев выполняется условие (₂ - ₁) = 0 (например, при работе на постоянном токе или когда сдвиги фаз малы), то общий коэффициент передачи будет равен сумме коэффициентов передачи блоков: k = k₁ + k₂.

Для определения относительной погрешности коэффициента передачи прологарифмируем и продифференцируем выражение k = k₁ + k₂, введя обозначения (k/k) = , (k₁/k₁) = ₁, (k₂/k₂) = ₂. После несложных преобразований получаем  = (k_1₁ + k_2₂) / (k₁ + k₂). Используя методику расчета аддитивной погрешности, изложенную в предыдущем параграфе, можно вывести следующую формулу для оценки приведенной ко входу погрешности смещения нуля для параллельного соединения блоков: X₀ = (k₁X₀₁ + k₂X₀₂) / (k₁ + k₂).

Форма АЧХ так же, как и для последовательного соединения, зависит от АЧХ отдельных блоков и их сочетаний. Результирующая АЧХ параллельного соединения будет апериодической, если блоки имеют одинаковый вид апериодической АЧХ. При этом частота среза параллельного соединения определяется максимальной из двух имеющихся частот среза.

Если блоки имеют разные виды апериодической АЧХ (интегрирующий и дифференцирующий), то АЧХ параллельного соединения на частоте сопряжения будет иметь максимум (рис. 3.3).

1

2

3

При одинаковых с последовательным соединением динамических параметрах блоков параллельное соединение обеспечивает большую широкополосность по частоте, что является достоинством данного соединения.

относительная частота f = (f₁f₂)^0,5

Рис. 3.3. АЧХ двух параллельно соединенных апериодических звеньев

(k₁ = 5, ₁ = 0,001 с, k₂ = 10, ₂ = 0,01 с): 1 – интегрирующего,

2 – дифференцирующего, 3 – смешанного типов

Таким образом, при параллельном соединении блоков:

1. коэффициенты передачи суммируются;

2. относительные погрешности коэффициентов передачи суммируются с весами, пропорциональными относительным коэффициентам передачи;

3. аддитивные погрешности блоков суммируются с весами, пропорциональными относительным коэффициентам передачи;

4. форма амплитудно-частотной характеристики зависит от формы АЧХ отдельных блоков и их сочетания.

3.3. Встречно-параллельное соединение

Такое соединение (рис. 3.1в) содержит вычитающее устройство, усилитель и блок обратной связи. В вычитающем устройстве осуществляется вычитание из входного сигнала X сигнала обратной связи X_В = YB, где В – коэффициент передачи блока обратной связи, Y – выходной сигнал. Усилитель увеличивает разность (X = X – X_В) в K₀ раз так, что на выходе формируется выходной сигнал Y = K₀ ^. X. Уравнение преобразования получается из совместного решения указанных соотношений в виде Y = K₀X/(1+K₀В). Отсюда коэффициент передачи встречно-параллельного соединения

K = K₀/(1+K₀В). (3.1)

Произведение K₀В = Т называется петлевым усилением и является основным качественным показателем встречно-параллельного соединения. В общем случае петлевое усиление является комплексной величиной, поэтому свойства рассматриваемой структуры зависят как от модуля, так и от фазы Т. Если знак петлевого усиления положителен (Т > 0), то встречно-параллельное соединение называется системой с отрицательной обратной связью, в противном случае встречно-параллельное соединение называется системой с положительной обратной связью. Поведение систем с отрицательной обратной связью (ООС) резко отличается от поведения систем с положительной обратной связью (ПОС). Поэтому свойства этих систем принято анализировать раздельно, несмотря на то, что ООС и ПОС "живут" и проявляют себя, находясь в рамках одной структуры.

Системы с ООС. Введем понятие идеальной системы с ООС как системы, петлевое усиление которой равно бесконечности. В этом случае коэффициент передачи системы определяется только коэффициентом передачи цепи обратной связи и не зависит от свойств прямой цепи, куда, в частности, входит усилитель K_И =1/B.

Как правило, в прямой цепи применяют различные усилительные устройства, построенные на базе интегральных микросхем, а в цепи обратной связи устанавливают пассивные, обычно резистивные преобразователи, коэффициент передачи которых меньше 1. Подгонкой или настройкой коэффициента передачи цепи обратной связи можно установить любой необходимый коэффициент передачи системы в целом. Например, при В = 0,1 имеем K = 10. Отметим некоторые замечательные следствия идеальности систем с ООС. Во-первых, погрешность коэффициента передачи идеальной системы зависит только от погрешности коэффициента передачи цепи обратной связи и не зависит от коэффициента передачи прямой цепи, что непосредственно следует из формулы K_И = 1/B, т. е. lnK = – lnB;  = – _В, где _В – относительная погрешность коэффициента передачи цепи обратной связи. Во-вторых, функция, реализуемая системой в целом, обратна к функции, реализуемой в цепи обратной связи. Поясним данное свойство двумя примерами.

Пример 1. Предположим, что в цепи обратной связи идеальной системы с ООС используется динамическое звено типа идеального дифференциатора с передаточной функцией В(р) = р, где р – оператор Лапласа;  – некоторый постоянный коэффициент. Так как передаточная функция всей системы K_И = 1/B(р), то получаем K_И = 1/р. В преобразовании Лапласа деление на оператор р соответствует операции интегрирования во временной области. Следовательно, применив дифференциатор в цепи обратной связи системы, мы реализовали интегратор.

Пример 2. Пусть в цепи обратной связи установлен нелинейный элемент, реализующий функцию X_В = В₀Y². В идеальной системе входной сигнал X полностью уравновешивается сигналом, поступающим из цепи обратной связи: X = X – X_в = 0. Отсюда имеемили. Таким образом, выходной сигнал системы пропорционален корню квадратному из входной величины, что и требовалось доказать.

Реальные системы с ООС имеют хотя и большое, но все же не бесконечное значение петлевого усиления. Поэтому их коэффициент передачи (3.1) отличается от коэффициента передачи идеальной системы K=1/B на величину так называемой погрешности некомпенсации:

_нк =1/(1+T)  1/T = 1/K₀B= K_и/K₀. (3.2)

Погрешность некомпенсации относится к классу мультипликативных погрешностей, т.к. ее относительное значение (3.2) не зависит от входной величины X. Реальные системы, у которых _нк  0, называются статическими. Существует способ, который даже для реальных систем с ООС позволяет свести погрешность некомпенсации к нулю. Для этого в прямую цепь необходимо включить последовательно с усилителем идеальный интегратор с передаточной функцией K₀/p. Тогда погрешность некомпенсации _НК = рK_И/K₀ начинает зависеть от оператора р = j, т.е. от частоты  прямо пропорционально. Но для постоянного тока  = 0 и, следовательно, _НК = 0, что эквивалентно идеальной системе. Системы с ООС, обладающие данным свойством, называются астатическими системами. Количество интеграторов, введенных в прямую цепь системы, определяет порядок астатизма. Система с астатизмом первого порядка имеет _НК = 0 для сигналов постоянного тока, скорость изменения которых равна 0. Система с астатизмом второго порядка имеет _НК = 0 для сигналов постоянного тока и сигналов, скорость изменения которых постоянна. Основные проблемы, возникающие при реализации астатических систем, связаны: 1) с отсутствием идеальных электронных интеграторов (в настоящее время наилучшими интеграторами являются электромеханические устройства типа электродвигателя), что существенно влияет как на быстродействие, так и на массогабаритные показатели систем; 2) с устойчивостью, когда ООС переходит в ПОС и в системе возникают автоколебания. В дальнейшем будем рассматривать лишь статические системы.

В реальных статических системах погрешность некомпенсации определяет: 1) нижнюю границу общей погрешности системы; 2) степень влияния неидеальностей прямой цепи на точность преобразования. Чтобы вывести уравнение для общей погрешности реальной системы с ООС, необходимо прологарифмировать и продифференцировать выражение (3.1), перейти к относительным приращениям и прибавить к полученному уравнению формулу (3.2). В результате получим

 =_НК _К0 – _В, _(3.3)

где _К0 – погрешность коэффициента передачи прямой цепи; _В – погрешность коэффициента передачи цепи обратной связи. Из (3.3) следует, что влияние неидеальности прямой цепи имеет второй порядок малости.

Чтобы учесть влияние аддитивных погрешностей блоков системы с ООС, введем на входах блоков дополнительные сумматоры так, как изображено на рис. 3.1д. Обозначим через Х₀ смещение нуля прямой цепи, а через Y_0в – смещение нуля на входе цепи обратной связи, и выведем уравнение преобразования системы. В итоге получим Y_p = k₀(X+X₀ – B ^. Y_0в)/(1+k₀B). Приведенное к входу смещение нуля системы с ООС: ₀ = X₀ – B Y_0в. В большинстве практических случаев в цепи обратной связи используются такие преобразователи, собственное смещение которых равно нулю. Поэтому можно принять ₀ = X₀.

Рассмотрим вопрос о динамических свойствах системы с ООС, полагая, что в прямой цепи находится инерционный усилитель с апериодической передаточной функцией первого порядка интегрирующего типа: K₀(p) = k₀/(1+p₀), где k₀ – модуль коэффициента усиления на нулевой частоте; ₀ – собственная постоянная времени усилителя, p = j – оператор Лапласа. Пусть в системе используется безынерционная обратная связь, т.е. коэффициент передачи цепи обратной связи от частоты не зависит. Подставив K₀(p) в формулу (3.1), получим K(p) = (1/B)/(1+1/T+p₀/T). Величина 1/T представляет собой погрешность некомпенсации _нк и ею, по сравнению с 1, можно пренебречь. Параметр ₁ = ₀/T является постоянной времени системы с ООС, причем значение ₁ оказывается в петлевое усиление раз меньше постоянной времени прямой цепи. Уменьшение постоянной времени эквивалентно увеличению во столько же раз частоты среза и, следовательно, быстродействия системы по сравнению с быстродействием отдельного усилителя прямой цепи.

Системы с ПОС. В зависимости от назначения системы, ПОС может оказывать как положительный, так и отрицательный эффект. ПОС применяется для создания генераторов сигналов различной формы, регенеративных (высокочувствительных) усилителей, некоторых типов активных фильтров, линеаризирующих преобразователей для датчиков, последовательностных цифровых устройств (триггеров, регистров, счетчиков) и др.

Формальным признаком наличия в замкнутой системе ПОС служит знак минус в знаменателе выражения (3.1). Это означает, что сдвиг фаз в петле обратной связи составляет 180^о. Причиной появления такого сдвига служат имеющиеся в схеме реактивные элементы (конденсаторы, катушки индуктивности). Известно, что фазовый сдвиг реактивных элементов увеличивается с частотой входного сигнала. Если в спектре входного сигнала присутствует частотная компонента, для которой суммарный сдвиг фаз в элементах замкнутой системы составит 180^о, то на этой частоте ООС переходит в ПОС. Поведение системы меняется: устойчивый режим работы сменяется неустойчивым, возникают хаотические колебания и неконтролируемые переходы из одного предельного состояния в другое. Чтобы использовать ПОС для построения генераторов сигналов, необходимо выполнить два основных условия, называемых балансом фаз и балансом амплитуд. Эти условия следуют из того, что знаменатель уравнения (3.1) приравнивается к нулю: 1+Т = 0, где Т = Т₀exp(j_t) – петлевое усиление в комплексной форме, Т₀ = К₀В – модуль петлевого усиления, _t – фаза петлевого усиления. Таким образом, получаем

баланс амплитуд К₀В = 1,

баланс фаз _t = _К + _В = .

Здесь _К, _В – фазовые сдвиги в прямой и обратной цепи. Следовательно, наличие ПОС математически означает появление в замкнутой системе бесконечно большого усиления.