2.2. Применение операторного метода к расчету электрических цепей

2.2.1. Прямое преобразование Лапласа

Идея этого метода заключается в том, что из области функций действительного переменного решение переносится в область функций комплексного переменного p = с + j, где операции принимают более простой вид, а именно: вместо исходных дифференциальных или интегродифференциальных уравнений получаются алгебраические уравнения; затем полученный решением алгебраических уравнений результат "интерпретируется", т. е. производится обратный переход в область функций действительного переменного. Этот переход осуществляется с помощью формул или таблиц. В этом отношении операторный метод, называемый также преобразованием Лапласа, можно сравнить с логарифмированием, когда от чисел переходят к логарифмам, над логарифмами производят действия, соответствующие действиям над числами, причем умножению чисел соответствует более простая операция сложения логарифмов, и т. д. Наконец, по найденному логарифму определяют искомое число (пользуясь таблицами).

Пусть f(t) – функция действительного переменного t, заданная в области t > 0 и равная нулю при t < 0. Из курса математического анализа известно, что если f(t) имеет ограниченный рост, то интеграл

F(p) =  f(t) e^-pt dt (2.6)

сходится абсолютно и является аналитической функцией комплексного переменного р = с + j. Интегральное уравнение вида (2.6) представляет собой прямое преобразование Лапласа. Функция f(t) называется оригиналом, а функция F(p) – изображением по Лапласу. Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного переменного t и комплексного переменного р, связанных преобразованием Лапласа. Из определения изображения следует, что каждый оригинал имеет единственное изображение. В свою очередь, оригинал вполне определяется своим изображением с точностью до значений в точках разрыва оригинала. Сокращенно переход от оригинала к изображению может быть записан в виде f(t)  F(p) и соответственно обратный переход F(p)  f(t).

Математическим операциям над оригиналами соответствуют определенные операции над изображениями и наоборот. Знание этих операций, или, как их называют, свойств преобразования Лапласа, облегчает нахождение изображений. Оно позволяет переходить от дифференциальных (или интегродифференциальных) уравнений, записанных для функций-оригиналов, к "операторным" уравнениям, записываемым для изображений, и облегчает последующее нахождение искомого оригинала по вычисленному изображению. Основные свойства преобразования Лапласа доказываются в курсе математического анализа. Ниже приводятся лишь формулировки этих свойств.

Теорема дифференцирования. Дифференцированию оригинала соответствует операция умножения изображения на р:

df(t)/dt  pF(p) - f(0).

Теорема интегрирования. Интегрированию оригинала соответствует операция деления на p:

 f(t)dt  F(p)/p.

Теорема запаздывания. Запаздыванию во временной области соответствует умножение изображения на экспоненциальную функцию p:

f(t - )  e^-p F(p).

Теорема смещения показывает, как изменяется изображение при умножении оригинала на экспоненциальную функцию времени:

e^t f(t)  F(p - ).

Теорема умножения изображений (теорема свертывания) устанавливает, что умножению изображений соответствует операция свертки оригиналов с пределами интегрирования от 0 до t:

F₁(p) F₂(p)   f₁(t) f₂(t - ) d.

Теорема подобия показывает, как изменяется изображение при изменении масштаба независимой переменной t оригинала:

f(at)  (1/a) F(p/a).

Теорема линейности устанавливает, что изображение линейной комбинации есть линейная комбинация изображений или, в самом простом случае, что умножение оригинала на постоянный коэффициент соответствует умножению изображения на этот же коэффициент:

af(t)  aF(p).

Предельные соотношения. Первое предельное соотношение дает возможность найти начальное значение функции f(t) при t = 0 непосредственно по изображению: lim f(t) = lim pF(p) при p  . Второе предельное соотношение дает возможность найти предел функции f(t) при t   по значению функции F(p) в начале координат: lim f(t) = lim pF(p) при p  0. Предельные соотношения полезны для проверки вычислений с помощью преобразования Лапласа.