2. Простейшие электронные цепи и методы их анализа

2.1. Основные понятия и определения

Электронная цепь (ЭЦ) – совокупность электронных компонентов, соединенных определенным образом, предназначенная для реализации заданной передаточной функции (ПФ) над входными сигналами.

Анализ ЭЦ предполагает вывод ПФ и расчет ее параметров при заданных:

• конфигурации ЭЦ;

• типах элементов ЭЦ, их характеристиках и параметрах;

• входных и выходных величинах.

Методы анализа ЭЦ основаны на применении законов Ома и Кирхгофа, представленных в естественной (дифференциальные уравнения) или символьной (операторной) форме, а также соответствующих способов расчета.

При анализе и синтезе электрических и особенно электронных схем широко используется понятие передаточной функции К(р), которой будем называть отношение изображений по Лапласу выходной величины Y(p) анализируемой цепи к входной X(p): K(p) = Y(p)/X(p).

Теоретическая и практическая значимости понятия ПФ определяются следующими достоинствами:

1. Простота описания и решения уравнений анализируемых цепей, присущая операторному методу.

2. Законы Ома и Кирхгофа, а также все классические методы расчета (контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного источника и др.), рассмотренные ранее, справедливы и действуют для цепей, представленных в операторной форме.

3. Основные режимы работы цепей (на постоянном токе, в установившемся и переходном режимах) анализируются из одного уравнения для ПФ и следуют просто как разные формы решения этого уравнения.

4. Легкость перехода к спектральному представлению и анализу цепей, основанная на том, что преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа.

Методика составления уравнения для ПФ содержит несколько этапов. Исходно должна быть задана топология анализируемой цепи и определено, что является входной величиной, а что – выходной.

Далее порядок действий такой:

• преобразование цепи в операторную форму;

• составление системы алгебраических уравнений цепи по законам Ома и Кирхгофа в соответствии с выбранным методом расчета;

• решение полученной системы относительно выходной величины;

• запись решения в форме уравнения преобразования, когда неизвестная выходная величина Y(p) записывается в левой, а заданная входная величина X(p) – в правой части уравнения вместе с совокупностью компонент, определяющих операторный коэффициент передачи: Y(p) = K(p) X(p);

• запись уравнения для ПФ в виде K(p) = Y(p)/X(p);

• качественный анализ ПФ как функции от оператора р с использованием предельных соотношений p  0 и p  ;

• переход от изображений к оригиналам либо в комплексной форме K(j), либо в показательной K(t);

• численная оценка коэффициента передачи K() на заданной частоте или K(t) в заданный момент времени и построение соответствующих зависимостей K() или K(t).

Рассмотрим конкретную реализацию первых 6 пунктов данной методики на примере цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R, L, C. Пусть заданными являются напряжение U(t) и параметры R, L, C элементов. Неизвестной величиной будем считать ток I(t) .

1. Для перехода к операторной форме цепи заменим оригиналы напряжений и токов на их изображения:

U(t)  U(p), U_R(t)  U_R(p), U_L(t)  U_L(p),

U_C(t)  U_C(p), I(t)  I(p).

Заменим элементы R, L, C их операторными сопротивлениями по правилу

R R, X_l = jL  pL, X_c = 1/jC  1/pC.

2. Второй закон Кирхгофа в операторной форме

U(p) = U_R(p) + U_L(p) + U_C(p) = I(p)Z(p) = I(p)(R + pL + 1/pC) .

3. Так как входная величина U(p), а выходная I(p), то уравнение преобразования принимает вид I(p) = U(p)/Z(p) = U(p)/(R + pL + 1/pC). Следовательно, ПФ цепи будет рассчитываться как

K(p) = 1/Z(p) = pC/(p²LC + pRC +1).

В данном случае физический смысл ПФ в том, что она характеризует операторную проводимость цепи.

4. Исследуем качественно зависимость ПФ от оператора р. Для этого положим р = 0, тогда K(p = 0) = 0. Если р  , то K(р  )  0. Если в нуле и в бесконечности передаточная функция равна нулю, то в промежутке между этими предельными значениями ПФ должна иметь максимум. Чтобы это проверить, надо использовать любой метод поиска экстремума, известный из курса высшей математики. Однако существует и более простой способ, при котором учитывается условие, что в точке экстремума ПФ принимает действительное значение. Приравняв к нулю два слагаемых знаменателя: p²LC + 1 = 0, получаем p² = (j)² = –² = –1/LC. Откуда . При этом значении частоты ПФ является действительным числом K = 1/R.

Рассмотренное в данном примере явление носит название резонанса напряжений, когда на определенной (резонансной ) частоте падения напряжения на индуктивности и емкости компенсируют друг друга и ток в цепи возрастает до своего максимального значения, определяемого только приложенным напряжением и активным сопротивлениемR цепи.

Под характеристикой будем понимать функциональную зависимость двух величин, одна из которых в данном рассмотрении и для данной электрической цепи считается аргументом, а другая – функцией. Для примера возьмем простейшую цепь с резистором R, через который протекает ток I. Если принять за аргумент ток I, а функцией считать падение напряжения U, то характеристикой этой цепи будет зависимость U = I^. R. При неопределенном значении R характеристикой служит семейство прямых линий, проходящих через начало координат. Если значение R задано, то в графической форме данная характеристика будет представлять прямую, проходящую через начало координат под углом  = arctg R. Величина R называется параметром характеристики U = f(I).

С другой стороны, в качестве аргумента может быть выбрана величина R, и тогда характеристикой этой цепи будет зависимость U = f(R), а ток I выступать как параметр. Графическим представлением характеристики в этом случае будет семейство гипербол. Предположим, что за основную мы приняли характеристику U = f(I). Но и в этом случае проблема выбора основной характеристики остается, так как появляется зависимость вида характеристики от формы входного воздействия (от формы аргумента).

Чтобы устранить указанные неопределенности и унифицировать описания различных по топологии и назначению электрических цепей, электронных устройств, приборов и систем, специалисты договорились в качестве основных использовать следующие характеристики: 1) амплитудную (АХ); 2) амплитудно-фазочастотную (АФЧХ); 3) переходную (ПХ). Для каждой характеристики определен перечень основных параметров, с помощью которых производится сравнительная оценка качества различных устройств по диапазону преобразуемых величин, быстродействию, точности и др. Ряд этих параметров законодательно оговорен и используется как перечень обязательных паспортных параметров электронных устройств.

Амплитудная характеристика (АХ) представляет собой зависимость амплитудного (или действующего) значения выходной величины цепи от амплитудного (или действующего) значения входной величины. В информационно-измерительной технике понятию АХ соответствует понятие уравнения преобразования (УП). Если АХ является линейной, то и такая электрическая цепь называется линейной. Для простейших элементов R, L, C АХ называются в соответствии с единицами измерения тех величин, которые связаны этими параметрами: в цепи с резистором U = I^. R, и АХ называется вольт-амперной характеристикой (ВАХ) резистора; в цепи с катушкой индуктивности магнитный поток связан с током следующим образом: Ф = L ^. I, и АХ называется вебер-амперной; в цепи с конденсатором Q = C ^. U, и АХ называется кулон-вольтной (рис. 2.1)

U  Q

  

I I U

U = RI  = LI Q = CU

Рис. 2.1. Амплитудные характеристики линейных элементов R, L, C

Амплитудно-фазочастотная характеристика (АФЧХ) состоит из двух характеристик: амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ).

АЧХ представляет собой реакцию цепи на входное воздействие в форме синусоидального сигнала. Для цепей с линейной АХ реакция цепи на входное воздействие в форме синусоидального сигнала будет иметь синусоидальную форму. Формально АЧХ можно определить как зависимость коэффициента передачи цепи от частоты входного сигнала K(). В свою очередь K() равен модулю ПФ при замене p = j, т.е.

(2.1)

где символами Re²[K(p = j)] и Im²[K(p = j)] обозначены соответственно квадраты действительной и мнимой частей комплексной ПФ K(j).

Поскольку коэффициент передачи, являясь параметром амплитудной характеристики, определяет ее наклон: K = Y/X, где X, Y – входная и выходная величины цепи, а амплитудно-частотная характеристика K() есть просто модуль передаточной функции, то становится понятной связь между АХ, АЧХ и ПФ. АХ представляет частный случай АЧХ для фиксированной частоты ; АЧХ представляет частный случай ПФ для фиксированной синусоидальной формы входного воздействия.

Чтобы проанализировать вид АЧХ и оценить ее параметры необходимо:

1. вывести выражение для ПФ заданной цепи;

2. заменить оператор р на j;

3. привести полученную комплексную ПФ к стандартному виду

K(j) = Re [K(j)] + jIm[K(j)], т.е. выделить отдельно действительную и мнимую части;

4. записать уравнение для АЧХ в форме (2.1), т.е. найти модуль ПФ;

5. исследовать функцию K() на предмет наличия характерных точек (экстремумов, разрывов, перегибов, асимптот, предельных значений и т.д.).

В качестве упражнения продолжим решение задачи анализа цепи, состоящей из последовательного соединения R, L, C. При исследовании ПФ было установлено, что ПФ имеет на частоте  = ₀ = (LC)^-1 максимум, равный 1/R. Такой же результат должен получиться и при анализе АЧХ. Докажем это.

1. Заменяем в уравнении для ПФ p =j, получаем

K(j) = jC/(–²LC + jRC +1) = (1/R) ^. j/(1 – ²/₀² + j),

где  = RC. Для удобства нормализуем K(j), разделив обе части полученной формулы на значение (1/R):

A(j) = [K(j)/(1/R)] = j/(1 – ²/₀² + j).

2. Для приведения комплекса A(j) к стандартной алгебраической форме освобождаемся от комплекса знаменателя умножением его на комплексно-сопряженное выражение (1 – ²/₀² – j). Чтобы при этом не изменилось выражение для A(j), надо и числитель умножить на (1 – ²/₀² – j). В итоге имеем

A(j) = Re[A(j)] + j^.Im[A(j)] = (²² + j  (1 – ²/₀²))/((1 – ²/₀²)² + ²²).

3. Находим модуль полученного выражения:

4. Делаем проверку, оценивая A() при  = 0,  = ,  = ₀: A(0) = 0, A() = 0, A(₀) = 1. Таким образом, рассчитанные значения коэффициента передачи соответствуют тем оценкам, которые были получены выше при качественном анализе вида ПФ.

5. Кроме значения ₀ резонансной частоты, важным параметром АЧХ является полоса пропускания F_пр, равная полосе частот, в пределах которой . Абсолютное значениеF_пр равно разности верхней f_в и нижней f_н частот среза: F_пр = f_в – f_н . Эти частоты определяют из условия , в данном случае решением квадратного уравнения относительно величины. Опуская очевидные преобразования, можно записать окончательную формулу: F_пр = ₀/Q, где Q = R_c/R, . ВеличинаQ называется добротностью контура, R_c – характеристическим сопротивлением контура. На рис. 2.2 приведена графическая интерпретация понятию полосы пропускания F_пр.

1

0,707



_н ₀ _в

_пр = 2F_пр

Рис. 2.2. Нормированная АЧХ последовательного R, L, C контура

ФЧХ находится как arctg отношения мнимой части комплексной ПФ к действительной части. Для рассматриваемого примера формула ФЧХ имеет вид

 = arctg (1 – ²/₀²)/ ,

откуда следует, что при  < ₀  > 0; при  > ₀  < 0, а при  = ₀  = 0. Таким образом, на частоте резонанса сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю и коэффициент передачи является действительным числом.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ), или диаграмма Боде, представляет собой АЧХ, построенную в логарифмическом масштабе и аппроксимированную отрезками прямых линий. Чтобы построить ЛАЧХ, необходимо уравнение для АЧХ прологарифмировать (в десятичных логарифмах) с коэффициентом 20 (для получения единиц измерения децибел), а затем точные выражения, стоящие под знаком логарифма, заменить более простыми, приближенными. Методику построения и анализа ЛАЧХ рассмотрим на примере двух простых, но очень важных как для теории, так и практики RC-цепей: интегрирующей (рис. 2.3) и дифференцирующей (рис. 2.4). Входной величиной в обоих случаях является напряжение U₁(p), а выходной – напряжение U₂(p). Эти цепи представляют собой делитель напряжения, для которого уравнение преобразования имеет вид:

U₂(p) = U₁(p) Z₂(p)/(Z₁(p) + Z₂(p)).

Учитывая, что для интегрирующей (рис. 2.3) цепи Z₁(p) = R, Z₂(p) = 1/pC, а для дифференцирующей (рис. 2.4), наоборот, Z₁(p) =1/pC, Z₂(p) = R, получаем ПФ

K_и(p) = 1/(1 + pRC); K_д(p) = pRC/(1 + pRC).

Обозначим через  = RC постоянную времени цепи и перейдем к модулям K_и()и K_д().

(2.2)

Общий характер зависимости коэффициентов передачи от частоты таков: с увеличением частоты  от 0 до  для интегрирующей цепи K_и() падает от 1 до 0; для дифференцирующей цепи K_д() возрастает от 0 до 1. Приравняв K_и() и K_д() в (2.2) к значению , найдем значение частоты среза:_ср = 1/.

Рис. 2.3. Интегрирующая RC-цепь и ее АЧХ

Рис. 2.4. Дифференцирующая RC-цепь и ее АЧХ

Переходим к ЛАЧХ интегрирующей цепи. Для этой цепи коэффициент передачи в децибелах:

K_и[дБ]=20Lg(K_и())= –10Lg(1+()²).

Если текущее значение частоты  меньше частоты среза: <_ср = 1/, то вторым слагаемым, стоящим под знаком Lg, можно, по сравнению с 1, пренебречь и принять K_и[дБ]  0 дБ.

Когда  > _ср, можно пренебречь 1 под знаком Lg, и тогда

K_и[дБ]  - 20Lg ().

Следовательно, ЛАЧХ интегрирующей цепи состоит из двух прямых, одна из которых совпадает с осью абсцисс (K_и[дБ]  0 или, что то же самое, K_и()  1 в диапазоне от 0 до _ср. Другая прямая наклонена к оси абсцисс с угловым коэффициентом –20 децибел на декаду (–20 дБ/дек). Последнее означает, что на участке  > _ср изменению частоты в 10 раз (т.е. на декаду) соответствует уменьшение коэффициента передачи тоже в 10 раз (или в логарифмических единицах на 20 дБ). В относительной форме данная зависимость имеет вид K()  (_ср/) или K(f)  (f_ср/f).

Переходим к ЛАЧХ дифференцирующей цепи. Для этой цепи коэффициент передачи в децибелах:

K_д[дБ] = 20Lg(K_д()) = 20Lg() – 10Lg(1 + ()²).

Эта ЛАЧХ также состоит из двух прямых. Первая прямая K_д[дБ]  20Lg () соответствует диапазону изменения частоты  от 0 до _ср. В этом диапазоне наблюдается увеличение коэффициента передачи со скоростью 20 децибел на декаду. В относительной форме данная зависимость имеет вид K()  (/_ср) или K(f)  (f /f_ср ). Вторая прямая K_д[дБ]  0 дБ, совпадающая с осью абсцисс, лежит в диапазоне изменения частоты  от _ср до  . ЛАЧХ интегрирующей и дифференцирующей цепей представлены на рис. 2.5. Обратите внимание на то, что при построении ЛАЧХ координаты точек по оси абсцисс могут указываться не в логарифмических единицах, а непосредственно в герцах или радианах в секунду, а по оси ординат – в единицах измерения коэффициента передачи (как правило, в относительных единицах).

Рис. 2.5. ЛАЧХ интегрирующей (а) и дифференцирующей (б) цепей

Переходная характеристика представляет собой реакцию цепи на входное воздействие в виде единичного скачка. ПХ так же, как и АЧХ, является частным случаем ПФ. В отличие от АЧХ, ПХ есть решение уравнения для ПФ в экспоненциальной (показательной) форме, для чего используется либо непосредственно формула обратного преобразования Лапласа, либо теорема о вычетах, либо таблицы. На практике из-за простоты чаще всего используют последний вариант. При небольшом навыке, запомнив два-три вида преобразования, можно научиться достаточно быстро решать типовые задачи.

Методику анализа ПХ рассмотрим на примере интегрирующей и дифференцирующей цепей, ПФ которых K_и(p) = 1/(1 + pRC); K_д(p) = pRC/(1 + pRC). Учитывая, что изображение функции, которая называется единичным скачком, 1(t) – есть 1/p (табл. 2.1), преобразуем общие ПФ K_и(p) и K_д(p) к частному виду W_и(p) и W_д(p), используя замену U₁(p) = E/p, где E – некоторое произвольное значение скачка входного напряжения.

W_и(p) = U₂(p)/E = K_и(p)/p = 1/p(1 + pRC);

W_д(p) = U₂(p)/E = K_д(p)/p = RC/(1 + pRC). (2.3)

Произведем замену:  = RC и вынесем эту постоянную времени в знаменателях (2.2) за скобки. В результате получим формулы, соответствующие формулам п. 5 и п. 4 табл. 2.1, где a = 1/:

W_и(p) = a/p(p + a);

W_д(p) = 1/(p + a). (2.4)

Переходя по табл. 2.1 от изображений к оригиналам, получаем ПХ для интегрирующей и дифференцирующей цепей (рис. 2.6) в виде:

W_и(t) = U₂(t)/E = (1 - exp( - t/));

W_д(t) = U₂(t)/E = exp( - t/). (2.5)

Таблица 2.1

№ пп	Изображение F(p)	Оригинал f(t)
1	1	(t) – дельта-функция (Дирака)
2	1/p	1(t) – единичный скачок
3	1/p2	t
4	1/(p + a)	e-at – экспоненциальная функция
5	1/p(p + a)	(1/a)(1 – e-at)
6	1/(p + a)2	te-at
7	1/(p + a)(p + b)	(1/(b – a))(e-at – e-bt)
8	1/p(p + a)(p + b)	(1/ab) + (1/(b – a))((e-bt)/b – (e-at)/a)
9	p/(p + a)(p + b)	(1/(b – a))(be-bt – ae-at)
10	1/(p2 + a2)	(1/a)sin(at)
11	p/(p2 + a2)	сos(at)

Окончание табл. 2.1

12	(pcos b – a.sin b)/(p2 + a2)	сos(at + b)
13	(psin b + a. cos b)/(p2 + a2)	sin(at + b)
14	1/(p + a)2 + b2	(1/b)e-atsin bt
15	(p + a)/(p + a)2 + b2	e-atcos bt
16	ej/(p – j)	ej(t + )

Основными параметрами ПХ являются постоянная времени  и время установления t_у. Временем установления называется интервал времени между моментом подачи входного единичного скачка и моментом достижения функцией W_и(t) значения, равного 0,9 от max (W_и(t)) или моментом достижения функцией W_д(t) значения, равного 0,1 от max (W_д(t)). Подставив в (2.5) вместо W_и(t) 0,9, а вместо W_д(t) – 0,1, получим t_у =  ^. Ln 10  2,3 ^. . Примерно через такое время переходный процесс в цепи заканчивается. Постоянная времени  как параметр ПХ связана с частотой среза – параметром АЧХ соотношением _ср = 1/. Связь ПХ и АЧХ позволяет, например, зная реакцию цепи на единичный скачок, предсказывать поведение цепи при синусоидальном входном сигнале, не проводя дополнительных экспериментов.

Рис. 2.6. Переходные характеристики RC-цепей