1.3. Анализ статических погрешностей электронных схем

Задача анализа погрешностей формулируется следующим образом. Задана топология некоторой электронной цепи. Известны номинальные (паспортные) параметры всех элементов (например, сопротивления резисторов, емкости конденсаторов, коэффициенты передачи тока биполярных транзисторов и т.д.), а также параметры входного сигнала. Указаны основные и дополнительные погрешности элементов.

К группе основных относятся, например, погрешности, обусловленные разбросом значений параметров элементов от их номинальных значений (так называемый допуск параметра). Допуск может быть задан либо в виде одного числа, как правило, в процентах, либо в виде интервала значений параметра элемента.

Например, для резистора с номинальным сопротивлением 1 кОм указан допуск 5 %. В этом случае основная погрешность резистора будет непосредственно равна допуску  = 5 %. Если же допуск на сопротивление того же резистора указан в виде интервала, в котором может находиться номинальное значение сопротивления, например 0,9–1,1 кОм, то основная погрешность (точнее, одна ее составляющая, обусловленная наличием допуска) в этом случае должна оцениваться по формуле

_д = (R/2R) ^.100% = 100^. (R_max -R_min)/2R = 100^. (1,1 – 0,9)/2 = 10 %.

Подобный пересчет справедлив, если  < 50 %. В противном случае приходится применять более сложные методики оценки погрешностей.

Дополнительные погрешности, как правило, задаются в виде коэффициентов влияния, показывающих, на сколько процентов изменяется номинальное значение параметра элемента при изменении влияющего фактора на единицу величины. В частности, так задаются температурные погрешности элементов. Для примера с резистором указано, что температурный коэффициент сопротивления (ТКС), определенный, например, по справочным данным, составляет 50^.10^-5 1/ ^оС. Это означает, что сопротивление меняется на 100 %^.50^.10^-5 = 0,05 % на каждый градус изменения температуры. Рассчитанное значение ТКС = 0,05 %/ ^оС влияет на оценку как основной, так и дополнительной погрешностей. Основная погрешность определяется в нормальных условиях, которые характеризуются температурным диапазоном 15–25 ^оС со средней температурой 20 ^оС. Поэтому температурная составляющая основной погрешности _т = ТКС^.T = 0,05 %/ ^оС^.5 ^оС = 0,25 %. Чтобы оценить дополнительную температурную погрешность, надо знать диапазон рабочих температур резистора. Предположим, он известен и составляет 5–40 ^оС. Тогда для расчета дополнительной температурной погрешности можно использовать следующие формулы:

_т1 = ТКС(maxTр - maxTн) = 0,05 %/ ^оС^. (40 – 25) = 0,75 %,

_т2 = ТКС(minTн - minTр) = 0,05%/^оС^. (15 – 5) = 0,5 %,

где maxTр, maxTн – максимальные значения температуры в рабочих (maxTр) и нормальных (maxTн) условиях; minTн, minTр – минимальные значения температуры в рабочих (minTр) и нормальных (minTн) условиях. В качестве окончательного результата расчета дополнительной температурной погрешности следует принять максимальное из двух значений _тд = max(_т1, _т2) = max(0,75 %, 0,5 %) = 0,75 %.

Если погрешности отдельных элементов известны или вычислены на основе паспортных или других данных, то возникает вопрос: как оценить общую погрешность заданной электронной цепи? Ответ на этот вопрос дают предлагаемая ниже методика и примеры анализа.

Суть этой методики заключается в следующем.

1. Для заданной цепи выводится уравнение преобразования, связывающее выходную величину с входной.

2. По уравнению преобразования вычисляются номинальные значения выходной величины и коэффициента передачи цепи.

3. Уравнение преобразования анализируется на предмет выявления возможных аддитивных погрешностей. Аддитивные погрешности, возможно, будут присутствовать, если: а) при нулевом значении входной величины Х = 0, выходная величина Y  0; б) в цепи присутствуют элементы, обладающие собственными аддитивными погрешностями. Если по каким-то соображениям принято, что аддитивных погрешностей в цепи нет или они настолько малы, что их можно не учитывать, переходят к анализу мультипликативных погрешностей (п. 4 методики). В противном случае проводят расчет аддитивных погрешностей в следующем порядке: а) составляется расчетная эквивалентная схема, учитывающая наличие аддитивных погрешностей отдельных элементов; б) выводится новое уравнение преобразования; в) определяется приведенная к выходу аддитивная погрешность как разность: Yа = Y – Yр, где Y – выходная величина, определенная из номинального уравнения преобразования по п. 1 методики, Yр – выходная величина, определенная из реального уравнения преобразования, учитывающего наличие у элементов собственных аддитивных погрешностей; г) проводится численная оценка приведенной к выходу аддитивной погрешности; д) вычисляется приведенная ко входу аддитивная погрешность по формуле Ха = Yа/ K, где K – номинальный коэффициент передачи, рассчитанный в п. 2.

4. Проводится анализ мультипликативных погрешностей, для чего уравнение номинального (п. 2) коэффициента передачи сначала логарифмируется, а затем дифференцируется. Такая технология позволяет сразу перейти от исходного уравнения к уравнению для относительной погрешности коэффициента передачи

_к = f(_к1,_к2,_к3,...),

где _к1,_к2,_к3,... – погрешности коэффициентов передачи (мультипликативные погрешности) отдельных блоков и элементов. Затем производится численный расчет погрешности _к.

5. При необходимости, оценки значений Ха и _к округляются и нормируются по правилам, изложенным в соответствующем стандарте, например ГОСТ 8.401-88.

Пример 1. Рассмотрим случай измерения некоторого постоянного напряжения U_x с помощью аналогового вольтметра, состоящего из измерительного механизма магнитоэлектрической системы и добавочного сопротивления R (рис. 1.2). Именно так измеряется напряжение в простейших аналоговых комбинированных приборах, называемых тестерами. Требуется оценить погрешность измерения некоторого произвольного значения U_x входного напряжения, если вольтметр имеет погрешность, заданную в его паспорте в виде класса точности _v = (U/U_xп)^.100 %, где U_xп – предел измерения, U – абсолютная погрешность вольтметра.

Рис. 1.2. Аналоговый вольтметр Рис. 1.3. Делитель напряжения

При наличии погрешности U показания N вольтметра можно представить в виде N = U_x + U = U_x(1 + U/U_x). Выразим абсолютную погрешность через класс точности и предел измерения: U = (_v ^. U_xп)/100 % и подставим в формулу для N. В результате получим N = U_x(1 +(_v ^. U_xп)/100 %/ U_x), где второе слагаемое характеризует относительную погрешность (в процентах) _х = _v ^. U_xп/U_x измерения напряжения U_x вольтметром класса точности _v.

Предположим, что с помощью тестера, имеющего класс точности 4.0, измеряется напряжение 12 В на пределе 30 В. Требуется оценить погрешность измерения. По условию задачи _v = 4,0 %, U_x = 12 В, U_xп = 30 В, поэтому непосредственно по формуле _х = _v ^. U_xп/U_x получаем ответ _х = 4^.30/12 = 10 %. В свою очередь, U = _х^.U_x, откуда окончательный ответ может быть записан в виде N = U_x + U = 12 В  1,2 В или N = (10,8-13,2) В.

Пример 2. Известно, что в схеме делителя напряжения (рис. 1.3) номинальные сопротивления резисторов R1 = 10 кОм, R2 = 2 кОм, а допуски одинаковы: ₁ = ₂ = 10 %. Оценить коэффициент передачи цепи К = U₂/U₁ и его погрешность _к.

Для расчета коэффициента передачи цепи К используем или выводим зависимость U₂/U₁ = R2/( R1 + R2) = 2/(10 + 2) = 1/6. Причиной погрешности _к являются погрешности ₁, ₂ резисторов. Чтобы установить связь между ними, необходимо прологарифмировать, а затем продифференцировать уравнение для коэффициента передачи К = U₂/ U₁ = R2/(R1 + R2). Проделав указанные операции, получаем _к = [R1/(R1 + R2)](₂ - ₁). На первый взгляд может показаться, что _к = 0, поскольку в уравнение для погрешности входит разность ₂ - ₁, а по условию задачи ₁ = ₂. Подобный вывод справедлив лишь при условии, что погрешности ₁, ₂ имеют не только абсолютно одинаковые значения, но и одинаковые знаки, что возможно лишь при индивидуальном подборе резисторов. Однако на практике поступают проще:

а) считают, что погрешности ₁, ₂ являются независимыми случайными величинами;

б) вместо алгебраического суммирования используют суммирование по модулю, при котором, хотя общая погрешность и завышается, обеспечивается наибольшая надежность расчета метрологических характеристик электронных устройств. Таким образом, формула для численной оценки погрешности коэффициента передачи будет иметь вид _к= [R1/(R1 + R2)](₂+ ₁). Откуда получаем

_к = [10/(10 + 2)] ^. (10 + 10)  17 %.

Пример 3. С каким допуском нужно выбрать сопротивление резистора и емкость конденсатора для интегрирующей цепи, чтобы погрешность задания частоты среза не превышала 5 %?

Поскольку в задаче речь идет о частоте среза, то запишем формулу, связывающую f_ср с параметрами R и C цепи: f_ср = 1/(2RC). Для перехода к уравнению погрешностей прологарифмируем и продифференцируем уравнение для f_ср, в результате чего получим _ср = – (R/R + C/C) = – (_R + _C). По условию задачи погрешность частоты среза _ср = 5 %. Следовательно, эти 5 % нужно разделить между двумя составляющими _R и _C в какой-либо пропорции, но так, чтобы сумма _R + _C не превысила 5 %. Самый простой вариант – разделить погрешность _ср = 5 % поровну: _R = _C = 2,5 %. Так поступают в случае, когда нет никакой дополнительной информации об особенностях погрешностей _R и _C. С практической точки зрения целесообразнее большую долю погрешности выделить на _C, так как резисторы с малым допуском подобрать значительно проще, и они будут стоить дешевле конденсаторов того же допуска. Поэтому в качестве ответа можно предложить следующее распределение погрешностей элементов, удовлетворяющее условию задачи: _R  1 %, _C  4 %. Данный пример иллюстрирует общее свойство задач синтеза цепей по критерию заданной погрешности – неоднозначность результата.