9. Цифровые интегральные микросхемы и их применение

9.1. Элементы алгебры логики

Анализ и синтез логических цепей производится на основе алгебры логики или булевой алгебры. Переменные здесь могут принимать только одно из двух значений: 0 или 1. Над переменными могут производиться три основных действия: логическое сложение, логическое умножение и логическое отрицание, что соответствует логическим функциям ИЛИ, И, НЕ. Запись логической функции производится либо в виде таблицы истинности, либо в виде характеристического уравнения (уравнения преобразования). На аппаратном уровне основные логические функции реализуются с помощью соответствующих логических элементов.

Логическое сложение (дизъюнкция) представляет собой функцию, как минимум, двух логических переменных Х1 и Х2 с таблицей истинности (рис. 9.1а) и характеристическим уравнением Y = X1 + X2. В качестве примера цепи, реализующей функцию ИЛИ, можно привести параллельное соединение замыкающих контактов нескольких реле. Цепь, в которую входят контакты, будет замкнута, если сработает хотя бы одно реле и замкнет свой контакт.

Логическое умножение (конъюнкция) представляет собой функцию, как минимум, двух логических переменных Х1 и Х2 с таблицей истинности (рис. 9.1б) и характеристическим уравнением Y = X1X2. Функцию И реализуют, например, соединенные последовательно замыкающие контакты нескольких реле.

Логическое отрицание (инверсия) представляет собой функцию одной переменной (рис. 9.1в). Моделью ячейки, реализующей функцию НЕ, может служить размыкающий контакт реле. При срабатывании реле цепь, в которую входит такой контакт, разомкнется.

Элементы ИЛИ, И, НЕ образуют так называемый функционально полный базис – такой набор элементов, используя который, можно реализовать любую, сколь угодно сложную логическую функцию. Однако функционально полные системы могут состоять и из набора элементов, реализующих логические функции, отличные от простейших. В частности, функционально полные системы могут состоять из элементов только одного типа. Наиболее распространенными типами подобных систем являются функция Пирса и функция Шеффера.

Функция Пирса представлена на рис. 9.1г. В качестве доказательства полноты данной функции рассмотрим возможность реализации простейших логических функций ИЛИ, И, НЕ с помощью функции Пирса. Во-первых, функция отрицания НЕ реализуется объединением входов элемента ИЛИ-НЕ с подачей на этот вход сигнала Х: Во-вторых, функция ИЛИ реализуется с помощью последовательного соединения двух элементов ИЛИ-НЕ, причем второй из них включается по схеме НЕ В-третьих, функция И реализуется с помощью трех элементов ИЛИ-НЕ так, что .

В правильности последнего соотношения нетрудно убедиться, составив для функции Y таблицу истинности и сравнив ее с таблицей истинности функции И.

Функция Шеффера представлена на рис. 9.1д, она реализует отрицание конъюнкции для входных переменных Х1 и Х2. В качестве доказательства полноты данной функции самостоятельно рассмотрите возможность реализации простейших логических функций ИЛИ, И, НЕ с помощью функции Шеффера.

Рис. 9.1

Функция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ является важной для организации операций суммирования в цифровых схемах. Элемент, реализующий данную функцию, называется сумматором по модулю 2. Таблица истинности ИСКЛЮЧАЮЩЕГО ИЛИ представлена на рис. 9.1е.