Рівняння математичної фізики
Довідковий матеріал
Задача Штурма-Лиувиля. Розглянемо крайову задачу
, (1)
(2)
Тут параметри задовольняють умовам потрібно знайти такі значення параметра , при яких існують відмінні від тотожного нуля (нетривіальні) розв’язки диференціального рівняння (1), які задовольняють краєвим умовам (2).
Ті значення параметра , при яких існує нетривіальний розв’язок задачі (1)–(2), називаються власними значеннями цієї крайової задачі, а відповідні їм нетривіальні розв’язки – власними функціями.
Властивості власних значень та власних функцій
Існує зчисленнамножина власних значень
при ,
яким відповідають власні функції
Власні функції на відрізку , які відповідають різним значення параметра , ортогональні з вагою :
Теорема Стеблова. Всяка функція , яка задовольняє краєвим умовам (2) і, яка має неперервну першу похідну та частинну-неперервну другу похідну, розкладається в ряд, що абсолютно і рівномірно збігається, за власними функціями :
Для прикладу розв’яжемо наступну задачу. Знайти в заданій області відмінні від тотожного нуля розв’язки диференціального рівняння, яке задовольняє заданим краєвим умовам:
(3)
(4)
Розглянемо три випадки.
. Загальний розв’язок рівняння (3) має вид:
З умови знаходимо
З умови отримаємо , т. б. ;
Загальний розв’язок рівняння (3) має вид: Умови (4) приводять до того, що т. б. ;
Загальний розв’язок рівняння (3) має вид:
З умов отримаємо ;
Умова приводить до рівняння Так як і то звідки отримуємо: ; таким чином, власні значення задачі (3)–(4) рівні , власні функції –
Зведення до канонічного виду лінійних рівнянь з частинними похідними другого порядку у випадку двох незалежних змінних. Загальне лінійне рівняння з частинними похідними другого порядку з двома незалежними змінними має вид:
(5)
де – задані функції змінних х, у. Воно належить до еліптичного типу в точці (х, у), якщо належить до гіперболічного типу в точці (х, у), якщо і належить до параболічного типу в точці (х, у), якщо
Рівняння
(6)
називається рівнянням характеристик для рівняння (5), а крайові, визначаються співвідношенням де – розв’язок рівняння (6), називаються характеристиками рівняння (5).
Рівняння (6) еквівалентно двом рівнянням
(7)
(8)
Для рівняння гіперболічного типу загальні інтеграли і рівнянь (7) та (8) дійсні та різні; вони визначають два різних сімейства дійсних характеристик рівняння (5). Заміна приводить рівняння (5) до канонічного виду:
.
Якщо рівняння належить до параболічного типу, то рівняння (7) і (8) співпадають, загальний інтеграл визначає одне сімейство дійсних характеристик рівняння (5). Заміна , де - довільна, двічі неперервно диференційована функція, яка задовольняє умові у області, що розглядається, приводить рівняння до канонічного виду:
Для рівняння еліптичного типу загальні інтеграли рівнянь (7) і (8) є комплексно-спряженими. Вони визначають два сімейства уявних характеристик.
Нехай – загальний інтеграл рівняння (7). Тоді заміна приводить рівняння (5) до наступного канонічного виду:
Зауваження. У деяких випадках канонічне рівняння дозволяє без труда знайти загальний розв’язок заданого рівняння.
Наприклад, рівняння заміною приводиться до канонічного виду . Його загальний розв’язок задається формулою:
отже, загальний розв’язок даного рівняння може бути записаний у вигляді
де - довільні двічі неперервно диференційовані функції.
Метод розділення змінних. Розглянемо використання цього методу до розв’язків рівнянь різних типів.
Еліптичні рівняння
Задача Діріхле для рівняння Лапласа крузі радіуса R:
де – полярні координати точки ; – задана функція.
В полярних координатах рівняння Лапласа має вид
(9)
Розв’язок цього рівняння будемо шукати в вигляді
(10)
Підставляючи вираз (10) в (9), отримаємо
або
З останнього співвідношення для знаходження функцій і отримаємо звичайне диференціальне рівняння
(11)
(12)
Із очевидної рівності слідує, що з рівняння (11) знаходимо і
Загальний розв’язок рівняння (12) має вигляд
при при
Через обмеженість розв’язку у центрі круга маємо т. б.
при при
Розв’язок задачі Дирихле шукається у вигляді
де коефіцієнти визначається за формулами:
Зауваження. Розв’язок задачі Діріхле для рівняння Лапласа у кільці шукається у вигляді
Коефіцієнти визначаються із граничних умов.
Задача Діріхле для рівняння Лапласа у кулі радіуса R:
Тут – сферичні координати точки – задана функція.
Частинні розв’язки рівняння Лапласа, записаного в сферичних координатах
(13)
будемо шукати у вигляді Підставляючи їх в (13), отримуємо рівняння
(14)
(15)
Будемо шукати розв’язки рівняння (15) у вигляді . З урахуванням співвідношення отримаємо:
(16)
(17)
Із (16) маємо
Поклавши в (17) і позначаючи , отримаємо
Це рівняння має обмежені на відрізку розв’язки тоді і тільки тоді, коли , і цими розв’язками є функції
де – поліноми Лежандра;
Таким чином ми знаходимо частинні розв’язки рівняння (15):
і загальний розв’язок рівняння (14) при
Отже, шукані частинні розв’язки рівняння (13) можуть бути представлені у вигляді:
Розв’язок задачі Діріхле для рівняння Лапласа у кулі потрібно шукати у вигляді:
де визначаються через коефіцієнти розкладання функції
Зауваження 1. розв’язок задачі Діріхле для рівняння Лапласа в кульовому шарі слідує шукати у вигляді:
Коефіцієнти визначаються з граничних умов.
Якщо граничні функції не залежать від кута , т. б. , то відповідні формули спрощуються: – у випадку кулі, де – у випадку кульового шару.
Коефіцієнти визначаються з граничних умов.
Зауваження 2. Метод розподілу змінних, застосований до рівняння Гельмгольца в кулі, приводить до розв’язку рівняння
яке змінною зводиться до рівняння Бесселя
Зауваження 3 . Рівняння Пуассона заміною , де - частинний розв’язок рівняння Пуассона, зводиться до рівняння Лапласа