- •Тема 4. Множественная регрессия и корреляция
- •Множественный корелляционно-регрессионный анализ
- •Отбор факторов для включения в уравнение регрессии
- •3. Традиционный метод наименьших квадратов для множественной линейной регрессии. Натуральная и стандартизированная форма модели множественной линейной регрессии
- •Множественная корреляция
- •Понятие частного коэффициента корреляции
- •6. Показатели силы связи в модели множественной регрессии
Понятие частного коэффициента корреляции
Частные коэффициенты корреляции характеризуют связи двух признаков из совокупности признаков при условии, что все связи этих признаков с другими признаками элиминированы, т.е. закреплены на условно-постоянном (среднем) уровне.
Таким образом, существуют парный ( ), частный ( )и множественный коэффициент корреляции ( ).
Введем обозначение - коэффициент частной линейной корреляции, характеризующий степень линейной зависимости между признаками хi и xj при исключенном влиянии третьей величины xk, включенной в модель.
Если парный коэффициент корреляции между двумя случайными величинами оказался больше частного коэффициента между теми же случайными величинами, то это говорит о том, что третья фиксированная величина усиливает взаимосвязь между изучаемыми величинами, т.е. более высокое значение парного коэффициента обусловлено присутствием третьей величины.
Более низкое значение парного коэффициента корреляции в сравнении с соответствующим частным коэффициентом корреляции свидетельствует об ослаблении связи между изучаемыми величинами действием фиксируемой величины.
Частные коэффициенты корреляции для двухфакторной линейной модели можно рассчитать с помощью парных коэффициентов корреляции:
.
Частный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Если частный коэффициент корреляции равен , то связь между двумя величинами функциональная, а равенство нулю свидетельствует о линейной независимости этих величин.
6. Показатели силы связи в модели множественной регрессии
В классической множественной линейной регрессии абсолютным показателем силы связи результата с фактором хj является коэффициент bj при этом факторе.
Коэффициенты bj линейной модели множественной регрессии показывают, на сколько единиц в среднем изменится результат при изменении фактора хj на единицу при фиксированном уровне других факторов.
Для сопоставления факторов по силе влияния используют относительные показатели силы связи – коэффициенты эластичности.
Общая формула коэффициента эластичности по фактору хj имеет вид:
,
где - частная производная функции регрессии по фактору хj;
- теоретическое значение результата при заданном значении фактора хj .
Значения остальных факторов при расчете коэффициента эластичности фиксируют на их среднем уровне.
Если зафиксировать значение хj на среднем уровне, то получим средний коэффициент эластичности:
.
Для линейной множественной регрессии средний коэффициент эластичности по фактору хj равен:
.
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится результат при изменении фактора хj на один процент при зафиксированных значениях других факторов на их среднем уровне.
Своеобразными показателями силы связи являются стандартизированные коэффициенты регрессии, т.е. -коэффициенты. Чем больше по модулю -коэффициент, тем теснее данный фактор связан с результатом. Стандартизированные коэффициенты регрессии показывают, на сколько «сигм» ( ) изменится в среднем результат, если соответствующий фактор хj изменится на одну «сигму» при неизменном среднем уровне других факторов.