(2,0; 0,0); (2,5; 0,5); (3,0; 1,0); (4,0; 1,0); (4,5; 0,5) И (5,0; 0,0), которая характеризует особый случай представления данных.

Т р е б у е т с я:

1) Нарисовать диаграмму рассеяния и выяснить, о каком особом слу­чае идет речь;

2) Построить регрессионное уравнение для этого случая и прокомментировать его;

3) Рассчитать коэффициент детерминации и проинтерпретировать его;

4) Определить, что изменится, если принять, что первые три и последние три пары значений относятся к разным генеральным совокупностям.

Задание 3.6. Рассмотрим линейную однофакторную регрессионную модель, в которой экзогенные переменные принимают только два значения 0 и 1, т.Е. Являются индикаторами.

Т р е б у е т с я:

1) Определить общий вид уравнения регрессии;

2) Для 30-летних коммерсантов с высшим образованием объяснить уровень месячного дохода с помощью переменной «пол», если для 6 случайно выбранных женщин месячные доходы составляют 3750, 3910, 4230, 3890, 4090, 4130, а для 6 случайно выбранных мужчин – 4850, 3950, 4210, 5580, 5170 и 4740. Построить соответствующее уравнение регрессии.

Задание 3.7 Изучается зависимость себестоимости единицы изделия у (тыс.т) от величины выпуска продукции x (тыс.т) по группам предприятий за отчетный период. Экономист обследовал n=5 предприятий и получил результаты (первый и второй столбцы). Уравнение регрессии . Найти коэффициенты детерминации и проверить гипотезу о наличии связи.

n	x	y		xy
1	2	1,9	4	3,8	3,61	1,9	0,0
2	3	1,7	9	5,1	2,89	1,79	-0,09
3	4	1,8	16	7,2	3,24	1,68	0,12
4	5	1,6	25	8,0	2,56	1,57	0,03
5	6	1,4	36	8,4	1,96	1,46	-0,06
итого	20	8,4	90	32,5	14,26

Задание 3.8. В следующей таблице данные по двум показателям. Оцените по методу наименьших квадратов коэффициенты парной линейной регрессии с зависимой переменной y и обясняющей переменной x.

x	6	5	4	3	4	2
y	1	4	3	6	7	9

Задание 3.9. По данным предыдущей задачи вычислите стандартные ошибки регрессии и проверьте гипотезу. H: β=0

Задание 3.10. По данным задачи 2 раздела, 1 постройте линейную зависимость расходов на потребление на душу от валового регионального продукта на душу по регионам Казахстана. Проверьте значимость коэффициентов.

Задание 3.11. Стремясь оптимизировать свою прибыль, фирма провела обследование и собрала данные о количестве занятых работников и объеме производства, приведенные в следующей таблице:

x	6	5	4	3	4	2
y	1	4	3	6	7	9

Постройте линейную зависимость объема производства от численности занятых работников. Проверьте статистическую значимость коэффициентов.

Контрольные вопросы:

1.Какой общий вид имеет модель парной линейной регрессии?

2.Перечислите основные причины существования случайного члена в модели парной линейной регрессии?

3.Какой метод используют для проведения регрессионного анализа?

4.В чем суть задачи регрессионного анализа?

5.По каким формулам рассчитываются параметры а и b оцененного уравнения регрессии, полученные при использовании МНК.

6.Какое может принимать значение коэффициент детерминации и почему?

Практическое занятие 4. Расчет стандартных ошибок коэффициентов

регрессии a и b

Уравнение модели .

Уравнение парной линейной регрессии , где , ; - остаток. По данным выборки отклонения и их дисперсии неизвестны, поэтому они заменяются остатками , и их выборочной дисперсией

.

Несмещенной оценкой дисперсии является остаточная дисперсия

.

Остаточная дисперсия служит мерой разброса переменной у вокруг линии регрессии.

Величина называют стандартной ошибкой регрессии. Стандартными ошибками коэффициентов регрессии:

,

; ; ;

; .

Доверительные интервалы.

Проведя испытания гипотез мы пришли к выводу, что связь между переменными х и у линейна и задается неизвестным уравнением . Производим парную выборку значений переменных х и у и по МНК находим величины a и b, строим уравнение регрессии , которым мы можем воспользоваться для оценки значений у при заданном значении х. По полученным точечным оценкам строим доверительные интервалы. Обычно это доверительные интервалы для показателя наклона линии регрессии β, для среднего значения у при заданном значении х и для значений у при заданном х.

Задается: n- объем выборки; δ- уровень значимости; v=n-2 – степени свободы.

Доверительный интервал для показателя наклона линии линейной регрессии имеет вид:

Пример 4.1. Используя, данные задания 3.11 и уравнение регрессии у=2,12--0,11x. Найти доверительный интервал для параметра β.

Решение.

,где , ,

, ,

Статистика , v=n-2=5-2=3, δ=0,05. По таблице t-распределение . Доверительный интервал имеет вид: или -0,21<β<-0,01.

Задание 4.1.Дана таблица наблюдений

n	x	y
1	1	3
2	2	5
3	3	6

Составлено уравнение регрессии .

Т р е б у е т с я:

1) Вычислить стандартные ошибки коэффициентов регрессии.

2)Построить доверительный интервал для параметра β- показателя наклона линейной регрессии и уровня значимости δ=0,05 δ=0,01.

Задание 4.2. Дана таблица наблюдений

i	x	y
1	-2	-5
2	2	8
3	3	11

Построено уравнение парной линейной регрессии: .

Т р е б у е т с я:

1) Найти стандартные ошибки коэффициентов а и b.

2) Построить доверительный интервал для параметра β- показателя наклона линейной регрессии и уровня значимости δ=0,05 δ=0,01.

Задание 4.3. Дана таблица наблюдений

i	x	y
1	5	-5
2	4	8
3	9	11

Построено уравнение парной линейной регрессии: .

Т р е б у е т с я:

1)Найти стандартные ошибки коэффициентов а и b.

2)Построить доверительный интервал для параметра β- показателя наклона линейной регрессии и уровня значимости δ=0,05 δ=0,01

Задание 4.4. По таблице наблюдений построено уравнение парной линейной регрессии

i	x	y
1	4	-5
2	5	8
3	9	11

.

Т р е б у е т с я:

1) Найдите значение коэффициента детерминации и оцените его значимость с помощью F-статистики.

Задание 4.5. Два человека строят временной тренд для одного и того же набора из 25 наблюдений переменной у, используя модель , где t- время (последовательно принимающее значение от 1 - 25), n- случайный член.

Первый получает уравнение . Второй по ошибке оценивает регрессию между t и y и приходит к такому уравнению .

Объясните наличие расхождения между данным уравнением и уравнением, полученным первым исследователем.

Задание 4.6. По 27 наблюдениям построено уравнение линейной регрессии . Построить 99%-ный доверительный интервал для коэффициента β переменной р.

Задание 4.7. По данным задачи 3.11. ожидаемого значения объема производства постройте 95 %-ный доверительный интервал для ожидаемого объема производства и его индивидуального значения, если фирма наймет 10 работников.

Контрольные вопросы:

1.С какой целью выдвигаются альтернативные гипотезы после получения оцененного уравнения регрессии.

2.В чем заключается сущность ошибок I и II рода, возникающих при проверке гипотез.

3.Какой интервал является доверительным.

4. Какой уровень значимости принимают экономисты.

5. Как определяют t_крит