- •Тема 1. Математические основы для решения оптимальных задач 12
- •Тема 2. Многокритериальная оптимизация 33
- •Тема 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей экономики 38
- •Тема 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики 52
- •Тема 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств 126
- •Тема 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования 137
- •Введение
- •Тема 1. Математические основы для решения оптимальных задач Лекция 1. Математические основы для решения оптимальных задач
- •Условия возникновения двойственности при оптимизации проблемных ситуаций, возникающих в экономике
- •Первая теорема двойственности
- •Вторая теорема двойственности
- •Третья теорема двойственности
- •Контрольные вопросы по введению и теме №1
- •Модель оценки технических возможностей экскаваторов Составление модели
- •Учет в модели дополнительных факторов
- •Основные рыночные характеристики экскаваторов
- •Тема 2. Многокритериальная оптимизация Лекция 2. Многокритериальная оптимизация
- •Контрольные вопросы к теме №2
- •Дополнительная задача
- •Тема 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей экономики Лекция 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей в экономике
- •Оптимизационная модель Леонтьева с учетом комплектности для выпускаемой продукции по отраслям
- •Разработка модели и анализ результатов
- •Модели динамического межотраслевого баланса Модель экономического роста
- •Оптимизационные динамические модели межотраслевого баланса
- •Динамическая оптимизационная модель накопления капитала
- •Динамическая оптимизационная модель потребления
- •Контрольные вопросы к теме №3
- •Анализ вариантов реконструкции завода
- •Составление модели
- •Тема 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики Лекция 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики
- •Решение
- •Решение
- •Задачи оптимизации производства
- •Функции спроса на ресурсы для долгосрочного периода
- •Функции спроса на ресурсы для краткосрочного периода
- •Динамическая модель оптимального размещения выпускаемой продукции по отраслям промышленного производства (производственно – транспортная модель)
- •Неоклассическая модель экономического роста Солоу
- •Математические основы развития экономики в модели Солоу
- •Математические основы теории трудовой стоимости Модель продаж и рынка одного товара
- •Модель производства множества товаров
- •Величина и стоимость трудовых ресурсов, необходимых для производства множества товаров
- •Контрольные вопросы по теме №4
- •Оптимизация внешнеторгового оборота
- •Оптимизация комплектования и транспортировки ресурсов для производства товаров внутри страны
- •Контрольные вопросы к теме №5
- •Тема 6. Динамические модели инвестиционной деятельности Лекция 6. Динамические модели инвестиционной деятельности
- •Модель инвестиционного менеджмента с учетом экономической конъюнктуры рынка
- •Обозначения.
- •Тема 7. Функциональная модель инвестиционного менеджмента Лекция 7. Функциональная модель инвестиционного менеджмента
- •Постановка задачи
- •Метод моделирования Условия ликвидности
- •Ограничения по производственным мощностям
- •Анализ результатов
- •Целевая функция двойственной задачи
- •Экономическая интерпретация результатов двойственной
- •Особенности модели Ферстнера
- •Тема 8. Динамическая оптимизационная модель конкурса инвестиционных проектов Лекция 8. Динамическая оптимизационная модель конкурса инвестиционных проектов
- •Постановка задачи
- •Метод моделирования
- •Анализ результатов
- •Модель инвестиционного менеджмента (по Албаху)
- •Постановка задачи
- •Условия проекта
- •Метод моделирования
- •Условия производства и сбыта продукции
- •Анализ результатов
- •Контрольные вопросы к темам № 6, 7, 8
- •Тема 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств Лекция 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств
- •Контрольные вопросы по теме №9
- •Пример практического применения нечетких чисел
- •Тема 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования Лекция 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования
- •Алгоритм решения
- •Контрольные вопросы по теме №10
- •Приложение 1 Минимальное возрастание стоимости комплекса работ
- •Указания к выполнению самостоятельной работы
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Математические методы теории принятия решений Курс лекций
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Первая теорема двойственности
Для прямой задачи: |
Для двойственной задачи: |
ден. единиц. |
=120. |
Вторая теорема двойственности
Если . Значит, 1й и 2й ресурсы будут находиться в дефиците.
Значения . Значит, 3й и 4й ресурсы будут находиться в избытке.
Третья теорема двойственности
Изменим значение 1го ресурса на единицу, т.е. и тогда .
Тогда денежных единиц.
Разница ден.ед. т.е. это составляет столько единиц, сколько их в двойственной оценке 1го ресурса денежных единиц/ед. ресурсов.
Если , то ден.ед., т.е. ден.ед. ( ).
Нужно отметить, что в случае заявки на производство новой продукции, экономическая целесообразность устанавливается по критерию :
Если , производство новой продукции экономически оправдано (для нашего оптимального решения ).
Если , то производство новой продукции экономически нецелесообразно.
При решении оптимизационных задач переменные могут оказаться дискретными: целочисленными, булевыми и дробными.
В случае целочисленных переменных область допустимых решений может состоять из нескольких разрозненных областей. Ниже приводится пример, когда условие целочисленности для исходной задачи №1 приводит к появлению задач №2 и №3 (в задаче №3 ОДР оказывается пустой). Тогда задача №2 распадается еще на две задачи: №4 и №5. Задача №5 распадается еще на две: №6 (ОДР – пустая) и №7. В задаче №4 получено целочисленное решение с большим значением целевой функции, чем в задаче №7 – то же с целочисленным результатом. Вывод ясен: решение заключено в варианте задачи №4. Приведем этот пример.
Найти максимальное значение целевой функции Z= x1 + 2x2 при ограничениях:
7x1 + 5x2 35 (1)
2x1 + 3x2 6 (2)
Значения переменных должны быть неотрицательными и в целых числах. Решение задачи №1: Z = 9,64; x1=2,42; x2 =3,61. На рис.2 – это координата точки В. Целочисленный результат переменных не достигнут.
Рис. 2. Две ОДР для случая целочисленных
значений переменных
Разобьем ОДР по значению x2: x2 3 и x2 4. Тогда возникнут еще две задачи: №2 и №3 – с теми же выражениями целевой функции и ограничений. Но в задаче №2 указывается: x1, x2 0; в задаче №3 значения x10; x2 4.
Проведем горизонтальные прямые x2 = 3 и x2 = 4. Теперь видим, что для задачи №3 область допустимых решений – пустое множество, не ограниченное сверху. Для задачи №2 решение существует x1 = 2,86; x2 = 3; Z= 8,86. Но целочисленность переменных не достигнута.
Поэтому задача №2 распадается на две: №4 с ОДР1, обозначенную буквами OADFK, №5 с ОДР2, обозначенную буквами MLC (треугольник).
Для ОДР1 в точке F находится целочисленное решение: x1=2; x2=3; значение Z = 8. В задаче же №5 значение Z=8,6; x1=3; x2=2,8. Это решение находится в угловой точке L(3; 2,8). Поэтому задача №5 распадается на две новые: №6 и №7.
Но в задаче №6 не существует ОДР. А в задаче №7 в точке S(3; 2) существует целочисленное решение, для которого значение функции Z = 7. В точке S значение целевой функции меньше, чем в точке F. Поэтому результат оптимального решения задачи будет однозначным: Z = 8; x1=2; x2 = 3. Оптимальное значение целевой функции находится в угловой точке F(2; 3) области, обозначенной буквами OADFKO.
Булевы переменные используются, когда надо дать однозначный ответ: ДА (x1 = 1), НЕТ (x2 = 0). Это значит, что принимается первый вариант.
Пример 1. При рассмотрении двух вариантов развития экономики области было получено: x1 = 1, x2 = 0. Значит, развивать экономику надо не во втором регионе, а в первом.
Пример 2. В таблице 2 указаны 4 варианта использования ресурсов, величина удельной прибыли и располагаемые значения трудовых ресурсов.
Таблица 2
Варианты |
Первый |
Второй |
Третий |
Четвертый |
Располагаемые ресурсы |
Прибыль |
70 |
80 |
90 |
210 |
|
Труд |
10 |
15 |
22 |
28 |
50 |
Финансы |
200 |
180 |
240 |
250 |
650 |
Требуется выбрать вариант с максимальным значением прибыли.
Целевая функция будет иметь вид:
Z = 70x1 + 80x2 + 90x3 + 210x4 max
Ограничение по труду: 10x1+15x2+22x3+28x4 50 (1)
Ограничение по финансовым ресурсам будет в виде:
200x1+180x2+240x3+250x4 650 (2)
Граничные условия: Все xj должны быть целыми числами, заключенными в интервале 0 xj 1.
Результат моделирования: x3 = 1, x4 = 1. Значит, следует выбрать третий и четвертый варианты, а первый и второй отклонить. При этом максимальная величина прибыли составит 370 единиц, а сэкономлено будет 160 финансовых единиц.
Дискретная оптимизация предполагает использование булевых переменных.
Пример 3. Требуется поместить жидкий материал в отдельном помещении, в контейнерах формы параллелепипеда, причем его длина «а» может быть только трех размеров: 4,25; 5,5; 6,75 метра. Два других размера: b – ширина, h – высота. Объем контейнера должен быть максимальным.
Целевая функция: V = abh max. Используем булевы переменные для длины а = 4,25x1 + 5,5x2 + 6,75x3 . Тогда появятся два других ограничения: а 4,25x1 + 5,5x2 + 6,75x3 = 0 (1)
x1 + x2 + x3 = 1 (2)
Дополнительные условия: Все xj должны быть целыми числами, заключенными в интервале 0 xj 1.
Результат поиска: x1 = 1; a = 4,25; b = 0,55; h = 0,55; V = 1,3 м3. Примечательно, что первоначальная стоимость контейнера уменьшилась с 100 денежных единиц до 60.