- •Тема 1. Математические основы для решения оптимальных задач 12
- •Тема 2. Многокритериальная оптимизация 33
- •Тема 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей экономики 38
- •Тема 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики 52
- •Тема 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств 126
- •Тема 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования 137
- •Введение
- •Тема 1. Математические основы для решения оптимальных задач Лекция 1. Математические основы для решения оптимальных задач
- •Условия возникновения двойственности при оптимизации проблемных ситуаций, возникающих в экономике
- •Первая теорема двойственности
- •Вторая теорема двойственности
- •Третья теорема двойственности
- •Контрольные вопросы по введению и теме №1
- •Модель оценки технических возможностей экскаваторов Составление модели
- •Учет в модели дополнительных факторов
- •Основные рыночные характеристики экскаваторов
- •Тема 2. Многокритериальная оптимизация Лекция 2. Многокритериальная оптимизация
- •Контрольные вопросы к теме №2
- •Дополнительная задача
- •Тема 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей экономики Лекция 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей в экономике
- •Оптимизационная модель Леонтьева с учетом комплектности для выпускаемой продукции по отраслям
- •Разработка модели и анализ результатов
- •Модели динамического межотраслевого баланса Модель экономического роста
- •Оптимизационные динамические модели межотраслевого баланса
- •Динамическая оптимизационная модель накопления капитала
- •Динамическая оптимизационная модель потребления
- •Контрольные вопросы к теме №3
- •Анализ вариантов реконструкции завода
- •Составление модели
- •Тема 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики Лекция 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики
- •Решение
- •Решение
- •Задачи оптимизации производства
- •Функции спроса на ресурсы для долгосрочного периода
- •Функции спроса на ресурсы для краткосрочного периода
- •Динамическая модель оптимального размещения выпускаемой продукции по отраслям промышленного производства (производственно – транспортная модель)
- •Неоклассическая модель экономического роста Солоу
- •Математические основы развития экономики в модели Солоу
- •Математические основы теории трудовой стоимости Модель продаж и рынка одного товара
- •Модель производства множества товаров
- •Величина и стоимость трудовых ресурсов, необходимых для производства множества товаров
- •Контрольные вопросы по теме №4
- •Оптимизация внешнеторгового оборота
- •Оптимизация комплектования и транспортировки ресурсов для производства товаров внутри страны
- •Контрольные вопросы к теме №5
- •Тема 6. Динамические модели инвестиционной деятельности Лекция 6. Динамические модели инвестиционной деятельности
- •Модель инвестиционного менеджмента с учетом экономической конъюнктуры рынка
- •Обозначения.
- •Тема 7. Функциональная модель инвестиционного менеджмента Лекция 7. Функциональная модель инвестиционного менеджмента
- •Постановка задачи
- •Метод моделирования Условия ликвидности
- •Ограничения по производственным мощностям
- •Анализ результатов
- •Целевая функция двойственной задачи
- •Экономическая интерпретация результатов двойственной
- •Особенности модели Ферстнера
- •Тема 8. Динамическая оптимизационная модель конкурса инвестиционных проектов Лекция 8. Динамическая оптимизационная модель конкурса инвестиционных проектов
- •Постановка задачи
- •Метод моделирования
- •Анализ результатов
- •Модель инвестиционного менеджмента (по Албаху)
- •Постановка задачи
- •Условия проекта
- •Метод моделирования
- •Условия производства и сбыта продукции
- •Анализ результатов
- •Контрольные вопросы к темам № 6, 7, 8
- •Тема 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств Лекция 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств
- •Контрольные вопросы по теме №9
- •Пример практического применения нечетких чисел
- •Тема 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования Лекция 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования
- •Алгоритм решения
- •Контрольные вопросы по теме №10
- •Приложение 1 Минимальное возрастание стоимости комплекса работ
- •Указания к выполнению самостоятельной работы
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Математические методы теории принятия решений Курс лекций
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Решение
Составим целевую функцию – минимизация капитальных затрат:
F = K1 + K2 + K3 min (1)
Общий прирост производства строго ограничен директивным заданием:
V1 + V2 + V3 = 3 (2)
Составим функцию Лагранжа:
L = F (3 V1 V2 V3 ) min (3).
Подставим значения V1, V2 ,V3 из выражения (2) в (3) и возьмем частные производные функции Лагранжа по переменным Vi, приравняв производные, равными нулю. Тогда получим зависимости, связывающие оптимальные значения Vi* с множителем Лагранжа :
;
; (4)
.
Подставив значения Vi* в ограничения (2), найдем оптимальное значение * = 0,0383 ден. единиц / ед. ресурса. То есть на каждую денежную единицу прироста производства произойдет увеличение вкладываемого капитала на 0,0383 денежные единицы.
Вернувшись к соотношениям (4) и подставив найденную величину *, получим следующие оптимальные значения прироста производства по каждому заводу: V1* = 1,388 тыс. тонн, V2* = 1,154 тыс. тонн, V3* = 1,458 тыс. тонн в год.
Оптимальные значения Vi* входят в целевую функцию (1), минимизирующую капитальные годовые затраты, которые составят около 0,0895 ден. единиц. С учетом реального масштаба исходных данных это составит 89500 денежных единиц капитальных затрат.
Задачи оптимизации производства
В начале темы 4 уже назывались ключевые вопросы, контролирующие развитие экономики. Укажем на важный математический инструментарий, позволяющий сводить задачи условной оптимизации к безусловным задачам: это метод Лагранжа.
Для производственной функции f(x1, x2) любого вида и ограничений в форме равенства (x1, x2) = b конструируется функция Лагранжа:
L(x1, x2, ) = f(x1, x2) +[b (x1, x2)] extr ,
где множитель Лагранжа. Безусловный экстремум этой функции совпадает с условным экстремумом только для точек, удовлетворяющих приведенному условию (x1, x2) = b. Только тогда второе слагаемое функции Лагранжа обращается в нуль. Для остальных точек L(x1, x2, ) f(x1, x2).
Если y, Po – соответственно, общий объем выпуска продукции и ее рыночная цена, то величина дохода будет выражена записью:
R = y Po (1)
При известных ценах р1, р2 и объемах затраченных ресурсов x1, x2 издержки производства составят:
С = р1 x1 + р2 x2 (2)
Величина прибыли – разность дохода и издержек:
Z = R – C = Pof(x1, x2) – (р1 x1 + р2 x2) (3)
Значения объемов ресурсов – неотрицательны. Задача максимизации прибыли в терминах стоимости ресурсов имеет вид:
Z=F(x1,x2)max (4)
Если дополнительные ограничения на ресурсы отсутствуют (что соответствует долгосрочному периоду D), то это задача безусловной оптимизации решается через метод неопределенных множителей функции Лагранжа. Если на объемы используемых ресурсов заданы ограничения типа:
g(x1, x2) b (5),
то оптимизация называется условной.
Прямые линии правой части соотношения (2) называются изокостами. Чем «северо-восточнее» относительно изокосты 1-1 располагаются эти линии, тем больше стоимость затраченных ресурсов – рис.6. На рис.6 видно, что тангенс угла наклона прямой (tg ), касательной к кривой постоянного объема выпуска (изокванты), определяет единственную точку касания. Значение объемов выпуска у2 у1: вместе с ростом объемов выпуска растут и издержки производства.