- •Тема 1. Математические основы для решения оптимальных задач 12
- •Тема 2. Многокритериальная оптимизация 33
- •Тема 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей экономики 38
- •Тема 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики 52
- •Тема 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств 126
- •Тема 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования 137
- •Введение
- •Тема 1. Математические основы для решения оптимальных задач Лекция 1. Математические основы для решения оптимальных задач
- •Условия возникновения двойственности при оптимизации проблемных ситуаций, возникающих в экономике
- •Первая теорема двойственности
- •Вторая теорема двойственности
- •Третья теорема двойственности
- •Контрольные вопросы по введению и теме №1
- •Модель оценки технических возможностей экскаваторов Составление модели
- •Учет в модели дополнительных факторов
- •Основные рыночные характеристики экскаваторов
- •Тема 2. Многокритериальная оптимизация Лекция 2. Многокритериальная оптимизация
- •Контрольные вопросы к теме №2
- •Дополнительная задача
- •Тема 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей экономики Лекция 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей в экономике
- •Оптимизационная модель Леонтьева с учетом комплектности для выпускаемой продукции по отраслям
- •Разработка модели и анализ результатов
- •Модели динамического межотраслевого баланса Модель экономического роста
- •Оптимизационные динамические модели межотраслевого баланса
- •Динамическая оптимизационная модель накопления капитала
- •Динамическая оптимизационная модель потребления
- •Контрольные вопросы к теме №3
- •Анализ вариантов реконструкции завода
- •Составление модели
- •Тема 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики Лекция 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики
- •Решение
- •Решение
- •Задачи оптимизации производства
- •Функции спроса на ресурсы для долгосрочного периода
- •Функции спроса на ресурсы для краткосрочного периода
- •Динамическая модель оптимального размещения выпускаемой продукции по отраслям промышленного производства (производственно – транспортная модель)
- •Неоклассическая модель экономического роста Солоу
- •Математические основы развития экономики в модели Солоу
- •Математические основы теории трудовой стоимости Модель продаж и рынка одного товара
- •Модель производства множества товаров
- •Величина и стоимость трудовых ресурсов, необходимых для производства множества товаров
- •Контрольные вопросы по теме №4
- •Оптимизация внешнеторгового оборота
- •Оптимизация комплектования и транспортировки ресурсов для производства товаров внутри страны
- •Контрольные вопросы к теме №5
- •Тема 6. Динамические модели инвестиционной деятельности Лекция 6. Динамические модели инвестиционной деятельности
- •Модель инвестиционного менеджмента с учетом экономической конъюнктуры рынка
- •Обозначения.
- •Тема 7. Функциональная модель инвестиционного менеджмента Лекция 7. Функциональная модель инвестиционного менеджмента
- •Постановка задачи
- •Метод моделирования Условия ликвидности
- •Ограничения по производственным мощностям
- •Анализ результатов
- •Целевая функция двойственной задачи
- •Экономическая интерпретация результатов двойственной
- •Особенности модели Ферстнера
- •Тема 8. Динамическая оптимизационная модель конкурса инвестиционных проектов Лекция 8. Динамическая оптимизационная модель конкурса инвестиционных проектов
- •Постановка задачи
- •Метод моделирования
- •Анализ результатов
- •Модель инвестиционного менеджмента (по Албаху)
- •Постановка задачи
- •Условия проекта
- •Метод моделирования
- •Условия производства и сбыта продукции
- •Анализ результатов
- •Контрольные вопросы к темам № 6, 7, 8
- •Тема 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств Лекция 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств
- •Контрольные вопросы по теме №9
- •Пример практического применения нечетких чисел
- •Тема 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования Лекция 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования
- •Алгоритм решения
- •Контрольные вопросы по теме №10
- •Приложение 1 Минимальное возрастание стоимости комплекса работ
- •Указания к выполнению самостоятельной работы
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Математические методы теории принятия решений Курс лекций
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Оптимизация внешнеторгового оборота
1. Условие задачи. В торговле участвуют r рынков. Для экспорта выделено m видов товаров в количестве Ai единиц (i = 1,m). Задана потребность в n видах импортных товаров в количестве Bj единиц (j =1,n).
Известна максимально–возможная величина экспорта (спроса) товаров на k–ом рынке (k =1,r) в количестве Sik; величина максимально–возможного импорта (предложение) j–го товара на k–ом рынке Пjk. Цена реализации товара pik , цена покупки j–го товара pjk.
По плану министерства внешней торговли со всеми рынками, кроме первого, запланировано получить величину торгового сальдо в размере Vk.
Требуется определить товарно–географическую структуру экспорта и импорта, при которой достигается максимум величины торгового сальдо от торговли с первым рынком. Непременное условие – полная реализация выделенных экспортных фондов, обеспечение потребности в импортных товарах, выполнение торгового баланса.
Конструирование модели.
1. Управляющие переменные – это количество i–го товара, экспортируемого на k–й рынок, Xik; количество j–го товара, импортируемого с kго рынка, Yik.
2. Ограничения по экспортным фондам k Xik = Ai.
3. Ограничения по импортным потребностям k Yjk = Bj.
4. Ограничения по емкости экспортных рынков Xik <= Sik.
5. Ограничения по емкости импортных рынков Yjk <= Пjk.
6. Ограничения по валюте:
i pik Xik j pjk Yjk = Vk (k = 2,r).
Первое слагаемое этого выражения – валютная выручка от реализации всех i–х товаров на k–х рынках, кроме первого; второе слагаемое – стоимость покупок всех j–х товаров на k–х рынках, кроме первого. Правая часть выражения – величина торгового сальдо от всех рынков, кроме первого.
Неотрицательность управляющих переменных: Xik=>0; Yjk=>0.
Целевая функция – максимум величины торгового сальдо от торговли с первым рынком:
L = i pi1 Xi1 j pj1 Yj1 max
Первое слагаемое правой части представляет сумму продаж за счет экспорта, второе – сумму покупок за счет импорта.
Оптимизация комплектования и транспортировки ресурсов для производства товаров внутри страны
Задача №1. Оптимальное управление запасами.
Условие задачи. На одном и том же типе оборудования вне страны производятся пять типов полуфабрикатов. Стоимость переналадок оборудования Ki не зависит от очередности выпуска полуфабрикатов, являющихся ресурсами для последующего производства продукции внутри страны – импортера. Полуфабрикаты затем транспортируются на склады общей площадью 300 м2. Стоимость транспортировки и возможного хранения на складах учитывается при проведении окончательных расчетов со страной экспортера. Стоимость содержания единицы полуфабрикатов Si[ден. ед./ (ед. п/фабр.ед. врем)], скорость поступления i и скорость расхода i[ед. п/фабр. / ед. врем.], а также нормативы хранения запаса на складских площадях fi[м2 / (ед. п/фабр.)] и оборотных средств ai[ден. ед. / (ед. п/фабр.)], потери от дефицита di[ден. ед./ (ед. п/фабр. ед. врем)], приведены в табл.14. Величина оборотных средств не должны превышать значения Ао = 20000 ден. единиц [7].
Требуется установить оптимальные значения: партии поставки полуфабрикатов qi и их максимальный уровень запаса Yi, продолжительности времени производства, дефицитной и бездефицитной работы системы управления запасами для полуфабрикатов каждого вида.
Таблица 14
Исходные данные по полуфабрикатам
-
Значение индекса i
i
i
Ki
Si
di
fi
ai
1
49
245
52
6
18
1,5
50
2
178
685
78
8
32
1,4
50
3
266
1520
43
10
20
2
100
4
59
413
57
11
40
0,8
100
5
148
710
70
5
25
1,6
50
Алгоритм решения.
Поскольку перед нами задача многопродуктового производства с учетом неудовлетворенных требований [9], рассчитываются следующие значения: i/i; Аi = 1 i / i ; Mi = Si / di; Bi = 1 Si / di; Ri = Sii Аi / Bi.
Определяется оптимальное время возобновления поставок:
Вычисляются все требуемые оптимальные параметры системы управления запасами:
партии поставки qi =i tц [40,56 и 25,32];
времени производства полуфабрикатов tпр=qi/i [0,068 и 0,042];
времени формирования запаса t1 = tпр/Bi [0,051 и 0,032];
времени ликвидации дефицита t4 = tпрt1 [0,017 и 0,011];
времени расходования запаса t2 = tц Аi./Bi [0,203 и 0,127];
времени бездефицитной работы Hi=t1 + t2 [0,253 и 0,158];
времени дефицитной работы Ni = Hi+Mi [0,084 и 0,053];
максимального уровня запаса Yi=qi(1i)/i [32,45 и 20,26].
Выполняется проверка ограничений времени поставок:
из условия размеров складских площадей tпл. = F / fii, ед. времени;
из условия оборотных средств tоб. = Ао / ai i , ед. времени.
Если значения tпл. и tоб. окажутся меньшими tц, то выбирается новое значение оптимального времени поставок из условия:
tпл. = min {tпл.; tоб.} = min {0,211; 0,263} = 0,211
Теперь значения оптимальных параметров системы управления запасами (с учетом неудовлетворенных требований), указанные в подпункте 3, пересчитываются заново. В квадратных скобках всех подпунктов 3 приведены численные значения только для полуфабриката первого вида: первая цифра – до пересчета, вторая – после пересчета значения величины tпл.
Окончательные результаты задачи №1 выводятся на печать и используются для последующего расчета в задаче №2, связанной с транспортировкой ресурсов (запасов) в страну импортера. Пример расчета в таблице Excel приводится в [3].
Задача №2. Оптимизация системы транспортных перевозок грузов.
Условие задачи. Запасы полуфабрикатов в складах «поставщиков» определены в задаче №1. Доставка полуфабрикатов в три заводских цеха («потребители») производится из условия минимальных транспортных издержек. Исходные данные к этой задаче и удельная стоимость перевозок Dij приведены в таблице 15.
Таблица 15
Исходные данные к транспортной задаче
Поставщики полуфабрикатов |
Запасы у поставщиков |
Цехи завода – потребителя |
||
|
|
j = 1 |
j = 2 |
j = 3 |
i = 1 |
Результат |
4 |
9 |
3 |
i = 2 |
решения |
4 |
8 |
6 |
i = 3 |
предыдущей |
3 |
6 |
7 |
i = 4 |
задачи |
3 |
8 |
2 |
i = 5 |
|
2 |
5 |
9 |
Объемы ресурсов |
|
67 |
60 |
50 |
Модель для задачи №2.
Целевая функция – минимизация суммарной стоимости перевозок:
L = ij DijXij min ,
где Xij – количество полуфабрикатов (пятнадцать основных переменных в задаче №1); i=1,5; j=1,3 – соответственно количество складов и заводских цехов.
Ограничения по грузоперевозкам:
X11 + X12 + X13 => 10 (1)
X21 + X22 + X23 => 37 (2)
X31 + X32 + X33 => 56 (3)
X41 + X42 + X43 => 12 (4)
X51 + X52 + X53 => 31 (5)
Ограничения по величине требуемых ресурсов:
X11 + X21 + X31 + X41 + X51 => 36 (6)
X12 + X22 + X32 + X42 + X52 => 60 (7)
X13 + X23 + X33 + X43 + X53 => 50 (8)
Ограничения по условиям работы склада №1:
X11 <= 36 (9) X11 + X12 <= 55 (11)
X12 <= 60 (10) X11 + X12 => 40 (12)
Экономическая интерпретация результатов задачи №2 выполняется в соответствии с данными таблицы 16.
а) Основные переменные X11, X12, X23, X31, X32, X43, X52 указывают оптимальную величину перевозимого груза. Для них дополнительные переменные двойственной задачи Uj равны нулю (т.е. перевозки грузов по таким маршрутам целесообразны).
б) Для остальных основных переменных значения Xij равны нулю и соответствующие им Uj отличны от нуля, показывая степень убыточности в случае отклонения от оптимального плана.
в) Основные переменные двойственной задачи Vi имеют значения, равные нулю: V1, V2, V6, V10, V11. Соответствующие им дополнительные переменные прямой задачи S1, S2, S6, S10, S11, показывают невыгодность грузоперевозок по определенным маршрутам. В неравенствах (1) и (6) эта невыгодность (остаток грузов) характеризуется значениями в 30 и 31 единицу соответственно. В неравенстве (6) только X11 = 36, X31 = 31, а остальные переменные равны нулю. Это значит, что к расчетной величине объема ресурсов можно добавить 36 + 31=67, записав (6) как строгое равенство. Корректив в 67 единиц сохраним для ограничения (1) по ресурсам в следующей задаче №3.
г) Цехи завода, которые будут выпускать продукцию (в следующей задаче №3), теперь знают, что в их распоряжение поступят:
Полуфабрикаты 1-го и 3-го видов, образующие первый ресурс (в цехе №1);
Полуфабрикаты 1-го, 3-го и 5-го видов, образующие второй ресурс (в цехе №2);
Полуфабрикаты 2-го и 4-го видов, образующие третий ресурс (в цехе №3).
Таблица 16
Результаты оптимизации задачи №2
№ |
Основные переменные |
Значения основных переменных |
Оценки убытков |
№ |
Дополнительные переменные |
Значения Si |
Значения Vi |
1 |
X11 |
36 |
0 |
16 |
S1 |
30 |
0 |
2 |
X12 |
4 |
0 |
17 |
S2 |
1 |
0 |
3 |
X13 |
0 |
3 |
18 |
S3 |
0 |
3 |
4 |
X21 |
0 |
8 |
19 |
S4 |
0 |
1 |
5 |
X22 |
0 |
7 |
20 |
S5 |
0 |
2 |
6 |
X23 |
38 |
0 |
21 |
S6 |
31 |
0 |
7 |
X31 |
31 |
2 |
22 |
S7 |
0 |
3 |
8 |
X32 |
25 |
0 |
23 |
S8 |
0 |
1 |
9 |
X33 |
0 |
1 |
24 |
S9 |
0 |
2 |
10 |
X41 |
0 |
6 |
25 |
S10 |
56 |
0 |
11 |
X42 |
0 |
6 |
26 |
S11 |
15 |
0 |
12 |
X43 |
12 |
0 |
27 |
S12 |
0 |
6 |
13 |
X51 |
0 |
2 |
|
|
|
|
14 |
X52 |
31 |
0 |
|
|
|
|
15 |
X53 |
0 |
4 |
|
|
|
|
16 |
Минимальное значение целевой функции составляет 640 ден. единиц |
В соответствии со своими техническими возможностями цехи распределяют и используют поступающие потоки грузов так, чтобы производить продукцию в количестве, обеспечивающем максимум прибыли.
Задача №3. Оптимизация выпуска товаров
Условие задачи. Развезенные по цехам комплекты полуфабрикатов (см. задачу №2) образуют ресурсы bi, единиц ресурсов, из которых в цехах завода начнется выпуск трех видов товаров. Объемы ресурсов, сосредоточенные в трех цехах («потребителях»), составляют соответственно 67, 60 и 50 единиц ресурсов (табл.17). Известны затраты ресурсов на единицу товаров aij, отпускные цены товаров каждого вида i [ден. ед. / ед. тов.] и их себестоимость Cij .
Таблица 17
Исходные данные для выпуска товаров в цехах завода
Индексы видов ресурсов |
Объемы ресурсов, полученные в задаче №2 |
Исходные данные задачи №3 |
План выпуска товаров |
||
Т1 = 126 |
Т2 = 58 |
Т3 = 77 |
|||
i = 1 |
67 |
a1j |
0,3 |
0,6 |
0,4 |
|
|
C1j |
20 |
10 |
40 |
i = 2 |
60 |
a2j |
0,6 |
0,8 |
0,7 |
|
|
C2j |
50 |
40 |
40 |
i = 3 |
50 |
a3j |
1,4 |
0,5 |
0,9 |
|
|
C3j |
60 |
90 |
30 |
Цены товаров i |
80 |
100 |
60 |
Требуется определить план выпуска товаров Xij из условия максимальной прибыли.
Составление математической модели.
Целевая функция Z = i j ( i Cij ) Xij max , то есть
Z=60X11+90X12+20X13+30X21+60X22+20X23+20X31+10X32
+10X33 max
Ограничения по ресурсам (правые части – из табл.17):
0,3X11+ 0,6X12+0,4X13 < = 67 (1)
0,6X21+ 0,8X22+0,7X23 < = 60 (2)
1,4X31+ 0,5X32+0,9X33 < = 50 (3)
Ограничения по объему выпуска:
X11 + X21 + X31 < = 126 (4)
X12 + X22 + X32 < = 58 (5)
X13 + X23 + X33 < = 77 (6)
Экономическая интерпретация результатов задачи №3 (табл.18).
Таблица 18
Результаты моделирования задачи №3
Номера строк |
Основные переменные |
Значения основных переменных |
Оценки «убытков» uj |
Номера строк |
Дополнительные переменные |
Значения Si |
Значения Vi |
1 |
X11 |
126 |
0 |
10 |
S1 |
0 |
50 |
2 |
X12 |
48,67 |
0 |
11 |
S2 |
37,52 |
0 |
3 |
X13 |
0 |
20 |
12 |
S3 |
0 |
11,11 |
4 |
X21 |
0 |
15 |
13 |
S4 |
0 |
45 |
5 |
X22 |
9,33 |
0 |
14 |
S5 |
0 |
60 |
6 |
X23 |
21,44 |
0 |
15 |
S6 |
0 |
20 |
7 |
X31 |
0 |
40,56 |
|
|
|
|
8 |
X32 |
0 |
55,56 |
|
|
|
|
9 |
X33 |
55,56 |
0 |
|
|
|
|
|
Максимальное значение целевой функции составляет 14596 ден.ед. |
О размерности основных и дополнительных переменных уже говорилось выше.
По результатам моделирования можно сделать следующие выводы:
Для выпуска товаров 1-го и 2-го вида используется первый ресурс. Оптимальные значения объемов товаров соответственно составляют 126 и 48,67 единиц (то есть 12600 и 4867 штук). Двойственные оценки показывают нулевые значения убыточности, кроме товара 3-го вида, для которого u3 = 20 денежных единиц за единицу товара;
Для выпуска товаров 2-го и 3-го видов используется второй ресурс. Оптимальные значения объемов товаров соответственно составляют 9,33 и 21,44 единицы (то есть 933 и 2144 штук). Для них двойственные оценки убыточности равны нулю. Для товара 1-го вида, не рекомендуемого к выпуску, величина убыточности может составить 15 денежных единиц за единицу товара;
Третий ресурс рекомендуется использовать только для производства товаров 3-го вида в количестве 5556 штук. При выпуске товаров 1-го и 2-го видов из этого ресурса убыточность может составить 40,56 и 55,56 денежных единиц за единицу товара;
При производстве товаров 2-го и 3-го видов останутся неиспользованными 37,52 единицы второго ресурса (S2 = 37,52), поэтому и теневая цена его станет равной нулю (V2 = 0);
Для производства товара 1-го вида в количестве 126 единиц (12600 штук) требуется первый ресурс использовать полностью. Для производства товара 2-го вида в количестве 58 единиц (5800 штук) надо использовать 48,67 единиц первого и 9,33 единицы второго ресурса. Для производства товара 3-го вида в количестве 77 единиц используется 21,44 единицы второго и 55,56 единицы третьего ресурса;
Значения двойственных оценок V4 = 45, V5 = 60, V6 = 20 – положительны. Такими должны быть теневые цены, чтобы обеспечить плановые показатели по выпуску продукции и максимизировать величину прибыли;
Максимальная величина прибыли при производстве товаров, для которых сырье закупалось заграницей, составляет 14596 денежных единиц. Любое отступление от рекомендаций оптимального плана непременно снизит это значение.