- •Тема 1. Математические основы для решения оптимальных задач 12
- •Тема 2. Многокритериальная оптимизация 33
- •Тема 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей экономики 38
- •Тема 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики 52
- •Тема 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств 126
- •Тема 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования 137
- •Введение
- •Тема 1. Математические основы для решения оптимальных задач Лекция 1. Математические основы для решения оптимальных задач
- •Условия возникновения двойственности при оптимизации проблемных ситуаций, возникающих в экономике
- •Первая теорема двойственности
- •Вторая теорема двойственности
- •Третья теорема двойственности
- •Контрольные вопросы по введению и теме №1
- •Модель оценки технических возможностей экскаваторов Составление модели
- •Учет в модели дополнительных факторов
- •Основные рыночные характеристики экскаваторов
- •Тема 2. Многокритериальная оптимизация Лекция 2. Многокритериальная оптимизация
- •Контрольные вопросы к теме №2
- •Дополнительная задача
- •Тема 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей экономики Лекция 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей в экономике
- •Оптимизационная модель Леонтьева с учетом комплектности для выпускаемой продукции по отраслям
- •Разработка модели и анализ результатов
- •Модели динамического межотраслевого баланса Модель экономического роста
- •Оптимизационные динамические модели межотраслевого баланса
- •Динамическая оптимизационная модель накопления капитала
- •Динамическая оптимизационная модель потребления
- •Контрольные вопросы к теме №3
- •Анализ вариантов реконструкции завода
- •Составление модели
- •Тема 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики Лекция 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики
- •Решение
- •Решение
- •Задачи оптимизации производства
- •Функции спроса на ресурсы для долгосрочного периода
- •Функции спроса на ресурсы для краткосрочного периода
- •Динамическая модель оптимального размещения выпускаемой продукции по отраслям промышленного производства (производственно – транспортная модель)
- •Неоклассическая модель экономического роста Солоу
- •Математические основы развития экономики в модели Солоу
- •Математические основы теории трудовой стоимости Модель продаж и рынка одного товара
- •Модель производства множества товаров
- •Величина и стоимость трудовых ресурсов, необходимых для производства множества товаров
- •Контрольные вопросы по теме №4
- •Оптимизация внешнеторгового оборота
- •Оптимизация комплектования и транспортировки ресурсов для производства товаров внутри страны
- •Контрольные вопросы к теме №5
- •Тема 6. Динамические модели инвестиционной деятельности Лекция 6. Динамические модели инвестиционной деятельности
- •Модель инвестиционного менеджмента с учетом экономической конъюнктуры рынка
- •Обозначения.
- •Тема 7. Функциональная модель инвестиционного менеджмента Лекция 7. Функциональная модель инвестиционного менеджмента
- •Постановка задачи
- •Метод моделирования Условия ликвидности
- •Ограничения по производственным мощностям
- •Анализ результатов
- •Целевая функция двойственной задачи
- •Экономическая интерпретация результатов двойственной
- •Особенности модели Ферстнера
- •Тема 8. Динамическая оптимизационная модель конкурса инвестиционных проектов Лекция 8. Динамическая оптимизационная модель конкурса инвестиционных проектов
- •Постановка задачи
- •Метод моделирования
- •Анализ результатов
- •Модель инвестиционного менеджмента (по Албаху)
- •Постановка задачи
- •Условия проекта
- •Метод моделирования
- •Условия производства и сбыта продукции
- •Анализ результатов
- •Контрольные вопросы к темам № 6, 7, 8
- •Тема 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств Лекция 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств
- •Контрольные вопросы по теме №9
- •Пример практического применения нечетких чисел
- •Тема 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования Лекция 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования
- •Алгоритм решения
- •Контрольные вопросы по теме №10
- •Приложение 1 Минимальное возрастание стоимости комплекса работ
- •Указания к выполнению самостоятельной работы
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Математические методы теории принятия решений Курс лекций
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Математические основы развития экономики в модели Солоу
В модели Солоу заложены следующие 10 предпосылок:
1. Производственная функция: Y=F(K, L) (1)
Первые производные функции (1) больше нуля, вторые – меньше нуля. Символом Y обозначен результат функционирования экономического объекта (выпуск продукции, доход); K – размеры капитала; L – размеры трудовых ресурсов.
2. Величина выбытия капитала: W = K, (2)
где норма выбытия капитала.
3. Норма сбережений (инвестиций) постоянна и поэтому количество инвестируемых единиц: I = Y (3)
4. Значение: Y = C + I, (4)
где С – величина потребления.
5. Производительность труда: y = Y/L (5)
6. Капиталовооруженность: x = K/L (6)
7. При делении обеих частей формулы (1) на L получим:
y = f(x) (7)
8. Размеры инвестиций характеризуют изменение величины капитала во времени: dK/dt = I, (8)
причем удельные (на единицу труда) инвестиции:
i=I/L (9)
9. Темп численности занятых на производстве n, трудосберегающий темп НТП (научно-технического прогресса) g и норма выбытия капитала связывают величину удельных инвестиций и капиталовооруженности соотношением:
i = ( + n + g)x (10)
10. Если формулу (4) записать для единицы трудового ресурса, то производительность труда будет: y = c + i, (11)
а удельные инвестиции: i =f(x) (12)
Значение капиталовооруженности x находится в устойчивом равновесии, если ее прирост за счет инвестиций компенсирует ее уменьшение за счет других факторов. Это положение отразим в (13):
( + n + g)x* ==f(x*), (13)
где x* устойчивый уровень капиталовооруженности.
На рис.10 показана зависимость i = f(x).
В точке А удельный прирост x точно равен величине его удельного сокращения и поэтому xA = x*. Это равновесие устойчиво, так как при x1 < x* инвестиции i1 (точка n) превышают их величину (точка 1), подсчитанную по формуле (10). При x2 x* инвестиции i2 (точка m) ниже их значений в точке 2. Значение инвестиций в точке А, равное величине i* = ( + n + g)x*, соответствует устойчивому значению капиталовооруженности x*.
Рассмотрим следующие состояния развивающейся экономики.
1. С ростом происходит рост инвестиций (формула (12)). Тогда функция инвестиций пересечет прямую линию ( + n + g)x – правее. Значит, рост увеличивает устойчивый уровень x*. Благосостояние населения при этом улучшается.
2. Если численность работающих не увеличивается (n=0), то прямая линия ( + n + g)x будет иметь меньший наклон к горизонтальной оси и, значит, точка x* сдвинется вправо. (То же будет и при g = 0).
3. Темпы прироста y, x, c, i в устойчивом состоянии экономики равны нулю. Поэтому, если g 0 (темп НТП), эти величины также будут расти.
4. При росте темпа n численности занятых на производстве общий объем капитала, дохода, потребления и инвестиций возрастают с темпом (n+g). Это значит, что надежным источником длительного и устойчивого роста благосостояния населения является научно – технический прогресс [6].
Поскольку каждому уровню нормы сбережения отвечает определенное устойчивое состояние и уровень удельного потребления с*, возникает вопрос, при каких условиях значение с* будет максимальным?
Используя формулу (10) и (11), получим:
с* = y* i* = f(x*) – ( + n + g)x* (14)
Равенство нулю правой части, после взятия первой производной в формуле (14), дает:
d[f(x*)] = ( + n + g) (15)
Х*
На рис.11 приведены соответствующие зависимости в координатах: K, W – производство и выбытие капитала, соответственно (вертикальная ось); значения x* горизонтальная ось. Рис.11 показывает, как выбирается оптимальный объем капитала при максимизации с* по «золотому правилу экономики». Этому правилу будут соответствовать значения x** и *. Значение * определяется из уравнения устойчивого состояния экономики:
( + n + g)x** = *f(x**) (16)
Тогда и величина удельного потребления с** «по золотому правилу» будет представлять разность:
с** = y** i** = f(x**) ( + n + g)x (17)
Отсюда вытекают три характерные ситуации:
1.Если темп роста трудовых ресурсов n более низок, чем первоначальный, то точка x** сдвинется вправо, а значение с** увеличится.
2. Если первоначальное значение x* x**, то увеличивают норму сбережения до значения «по золотому правилу». Тогда экономика постепенно выходит на максимальный уровень с** рис.12а. В начале удельный уровень потребления будет даже несколько ниже исходного и, лишь затем, постепенно вырастет наряду с ростом инвестиций i и производительности труда у.
3. Если же x*x**, то снижают значение (норму сбережений) до уровня, соответствующему «золотому правилу». Тогда экономика постепенно выходит на требуемый уровень с**. Причем, вначале удельное потребление даже несколько вырастет, а затем будет постепенно снижаться наряду со снижением инвестиций i и производительности труда, которые первоначально имели более высокие значения – рис.12б.