Динамическая модель оптимального размещения выпускаемой продукции по отраслям промышленного производства (производственно – транспортная модель)

Обозначим продолжительность всего планового периода через Т, лет, а текущее значение промежутка времени t, единиц времени. Индексы предприятий и потребителей, соответственно, будут обозначены i и j; значения этих индексов: i = 1, n; j = 1, m. Тогда для производства: X_it – объем валового выпуска продукции на i – том предприятии в t – ом периоде, единиц продукции; Q_it – затраты на производство единицы продукции на i – том предприятии в t – ом периоде, ден. единиц / ед. продукции; A_it – максимальная мощность i – го предприятия в t – ом периоде, единиц продукции.

Для потребления:

• X_ijt – объем перевозок продукции из i – го предприятия к j – му потребителю в t – ом периоде;

• C_ijt – тариф перевозок продукции из i – го предприятия к j – му потребителю в t – ом периоде, ден. ед. / ед. продукции;

• B_jt – объем поставок продукции j – му потребителю в t – ом периоде, единиц продукции.

1. Целевая функция  необходимость разместить производство продукции по предприятиям так, чтобы за время планового периода Т суммарные затраты были минимальными – записывается в виде:

Z = _t_i Q_it X_it + _t_i_j C_ijt X_ijt  max (1)

2. Условия производства продукции:

X_it < = A_it, а поскольку X_it = _j X_ijt, то

_j X_ijt< = A_it (2)

3. Условия потребления продукции:

_i X_ijt = B_jt (3)

4.Условия производственного роста:

X_i,t+1 > X_it , (4)

где значения индекса i – прежние, а индекса t = 1, T – 1.

5. Условия неотрицательности переменных:

X_it = > 0;

X_i,t+1 = > 0; (5)

X_ijt = > 0

Здесь укажем на важность только нескольких этапов информационной технологии моделирования по этой задаче.

Объект моделирования. Любая планируемая, реконструируемая или существующая социально – экономическая система.

Проблемная ситуация. Поиск минимума совокупных затрат на развитие социально – экономической системы с учетом указанных выше условий производства, потребления и экономического роста.

Математический аппарат. Линейная алгебра. Вследствие линейности динамической модели – богатство информационных ресурсов (см. материал темы 1).

Результат моделирования. Определение наилучших значений выпуска продукции, объема перевозок для удовлетворения потребительского спроса при минимальных совокупных производственных затратах.

Неоклассическая модель экономического роста Солоу

Мощным фактором развития экономических систем являются инвестиции, определяющие рост производственных мощностей и величину национального дохода.

Обозначим капиталовооруженность x = K/L (1)

В формуле (1) K, L  соответственно объемы основных производственных фондов и трудовых ресурсов.

Изменения параметров формулы (1) во времени будут:

(a)

dK/dt = (b)

(c)

Прологарифмировав (1), получим:

ln x = ln K  ln L (2)

Дифференцируя (2) и учитывая (a), (b), (c), получим:

(3)

В обычной записи для производственной функции, связывающей выходной параметр Y с основными факторами производства K и L:

Y = f (K, L) (4)

Выходной параметр Y производственной деятельности содержит непроизводственное потребление С и инвестиции I:

Y = C + I (5)

Тогда постоянное значение доли накопления капитала можно записать так:

 = (Y  C) / Y (6)

Изменение величины накопленного капитала будет:

(7)

Величина постоянного темпа прироста n трудовых ресурсов записывается как: (8)

С учетом (8) выражение (3) можно представить в виде:

(9)

Учитывая (6) и (7), преобразуем формулу (9):

(10)

или (11)

Окончательно, выражение (9) будет иметь вид:

(12)

Приравняв к нулю dx/dt, можно определить оптимальное значение равновесного темпа прироста n_p занятости трудовых ресурсов:

n_p =   f(x*) / x* (13)

В точке x = x* обеспечивается устойчивое (постоянное) равновесное состояние экономики.

Экономические параметры Y, K, C, I на траектории равновесного состояния экономики изменяются пропорционально изменению трудовых ресурсов L. Если во времени изменяется значение L(t):

L(t) = L₀  exp( n  t ), (14)

то и основные показатели экономики будут изменяться:

Y = f(x*)  L₀  exp( n  t ),

K = x*  L₀  exp( n  t ), (15)

C = (1  )f(x*) L₀  exp( n  t ),

I =   f(x*)  L₀  exp( n  t ) .

Запишем производственную функцию Кобба –Дугласа:

Y =Y₀K^ L^1- (16)

В формуле (16) Y_o  первоначальное значение выходного параметра производственной деятельности, а величина  характеризует изменение параметра Y при однопроцентном изменении величины инвестиций (коэффициент эластичности замещения капитала).

Если учесть коэффициент выбытия капитала  (вследствие амортизации капитала) и темп прироста трудовых ресурсов n, то выражение (12) можно записать в виде:

dx / dt = S  f(x)  ( + n)  x (17)

или dx / dt = S  Y_o  x^  ( + n)  x (18)

Критерием успешного развития экономики является величина удельного (на одного работающего) потребления с.

На траектории устойчивого состояния экономики величина с связана с размером x* капиталовооруженности:

с* = f(x*)  (n + )  x* (19)

Формулы (18) и (19) дают основание для определения оптимального значения нормы накопления *, при которой удельное потребление с* будет максимальным.

Дифференцирование с* и  с последующим приравниванием к нулю выражения [(1  )  ^/(1-) ]' = 0 (20)

дает следующий результат: * =  (21).

Это значит, что оптимальное значение нормы накопления * равно коэффициенту эластичности замещения капитала . Таким образом, норма накопления капитала * связана с фактором экономического развития , величиной инвестиций.