7.3. Спектры некоторых периодических колебаний

Прямоугольное колебание (меандр) изображено на рис. 7.3.

П

Рис. 7.3. Прямоугольное колебание

ри выбранном на рис. 7.3 начале отсчета времени функция является нечетной. Коэффициенты ряда Фурье для нечетных функций a_n=0. Для коэффициентов b_n имеем

Рис. 7.4. Графическая интерпретация разложения в ряд Фурье

.

Учитывая, что , получаем

(7.5)

Начальные фазы равны 0 для всех гармоник. В тригонометрической форме ряд Фурье для прямоугольного колебания имеет вид

.

Графическая интерпретация ряда Фурье

Рис. 7.5. Спектр прямоугольного колебания

и спектр колебания представлены на рис. 7.4, 7.5. Спектр прямоугольного колебания состоит из бесконечного количества нечетных гармоник. С увеличением числа гармоник сумма ряда приближается к функции . При ограниченном числе гармоник ряд Фурье лишь приближенно аппроксимирует прямоугольное колебание.

Последовательность прямоугольных импульсов (рис. 7.6).

В

Рис. 7.6. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

данном случае функция четная и коэффициенты ряда Фурье b_n=0.

Значение средней (постоянной) составляющей

.

Значения коэффициентов ряда Фурье

.

Таким образом,

. (7.6)

Спектр последовательности прямоугольных импульсов изображен на рис. 7.7.

Спектр состоит из дискретных составляющих, амплитуда которых определяется огибающей вида , где . Расстояние между соседними линиями спектра определяется периодом повторения .

Огибающая спектра имеет нули в точках , и т. д. Спектр состоит из основного лепестка и ряда боковых лепестков. Протяженность основного лепестка принимается за условную ширину спектра. Учитывая, что , для ширины спектра в Гц получим . Откуда

. (7.7)

Это фундаментальное соотношение говорит о том, что произведение ширины спектра на длительность импульса остается постоянным. Поэтому более короткие импульсы имеют более широкий спектр.

Ч

Рис. 7.7. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

исло дискретных линий в одном лепестке спектра равно скважности импульсной последовательности . При периодическая последовательность вырождается в одиночный импульс. При этом расстояние между спектральными линиями и спектр из линейчатого превращается в сплошной, но ширина спектра по-прежнему определяется соотношением (7.7).

П

Рис. 7.8. Пилообразное колебание

Рис. 7. 9. Периодическое колебание треугольной формы и сумма трех первых гармоник ряда Фурье (пунктирная линия)

илообразное колебание используется в устройствах развертки в осциллографах и мониторах. Колебание (график на рис. 7.8) описывается нечетной функцией, и ряд Фурье для нее содержит только синусоидальные члены6

. (7.8)

Периодическая последовательность импульсов треугольной формы (рис. 7.9). Один импульс последовательности описывается выражением

Постоянная составляющая напряжения последовательности импульсов треугольной формы равна

.

Форма этой последовательности импульсов описывается четной функцией, поэтому коэффициенты ряда Фурье a_n=0, а коэффициенты b_n описываются выражением

Ряд Фурье для данной последовательности состоит из суммы постоянной составляющей и нечетных гармоник

Рис. 7. 10. Спектр последовательности треугольных импульсов

.

Спектральная диаграмма последовательности изображена на рис. 7. 10.

Периодическая последовательность косинусоидальных импульсов. Такая последовательность возникает при воздействии на нелинейные элементы гармонических колебаний. Примером нелинейного элемента может служить полупроводниковый диод, вольт-амперная характеристика которого в первом приближении описывается кусочно-линейной функцией (рис. 7.11).

Н

Рис. 7.11. Воздействие периодического напряжения на нелинейный элемент

аклон ВАХ характеризуется крутизной . Если к диоду приложить напряжение, состоящее из постоянной и переменной составляющих , то при определенных соотношениях между величинами и напряжением отсечки диода U₁ ток диода будет иметь форму косинусоидальных импульсов с углом отсечки . Угол отсечки может изменяться в пределах от 0 (ток диода равен нулю) до 180^ (режим без отсечки тока диода). Ток диода имеет форму периодических импульсов косинусоидальной формы, описываемых выражением

Рис. 7.12. Зависимости коэффициентов Берга от угла отсечки

,

где – амплитуда импульсов тока.

Коэффициенты ряда Фурье для периодической последовательности косинусоидальных импульсов являются функциями угла отсечки:

(7.9)

Вводят нормированные параметры – коэффициенты Берга:

Зависимости первых четырех коэффициентов от угла отсечки приведены на рис. 7.12.