7. Электрические цепи периодического несинусоидального тока

7.1. Общие сведения

В

Рис. 7.1. Примеры периодических токов

электротехнике и электронике наряду с переменными синусоидальными токами и напряжениями применяются периодические токи и напряжения других форм. Примеры таких токов показаны на рис. 7.1. Прямоугольное колебание – меандр (рис. 7.1, а) является дискретным аналогом гармонического колебания. Меандр характеризуется амплитудой колебания и периодом Т. С периодом связана частота колебаний  [Гц]. Наиболее распространенным видом периодического несинусоидального тока является последовательность прямоугольных импульсов (рис. 7.1, б), которая характеризуется амплитудой  , периодом Т (частотой ) и длительностью импульсов , а также скважностью . На рис. 7.1, в изображена последовательность пилообразных импульсов. Кроме амплитуды и периода Т параметрами пилообразного тока являются длительность прямого Т₀ и обратного хода Т_ох. К периодическим несинусоидальным колебаниям относится также последовательность косинусоидальных импульсов (рис. 7.1, г), для которых вводится дополнительный параметр – угол отсечки .

Для расчета электрических цепей с источниками периодического несинусоидального тока или напряжения символический метод расчета цепей синусоидального тока непосредственно неприменим. Однако, раскладывая периодические несинусоидальные ЭДС на сумму синусоидальных составляющих (на сумму гармоник) и используя принцип суперпозиции, для расчета линейных электрических цепей несинусоидального тока можно использовать символический метод. Процедура расчета в этом случае состоит в разложении периодических несинусоидальных ЭДС на ряд синусоидальных ЭДС и расчете электрической цепи для каждой гармонической составляющей с последующим суммированием результатов расчета для каждой отдельной гармоники.

7.2. Разложение периодических функций в ряд Фурье

Известно, что периодические функции , удовлетворяющие некоторым условиям, могут быть представлены в виде линейной комбинации (суммы с весовыми коэффициентами) ортогональных функций:

(7.1)

Ортогональной на отрезке [a, b] называется система функций

,

удовлетворяющая условию

При разложении периодических функций в ряд Фурье в качестве ортогональных берут гармонические функции

Для представления в виде ряда Фурье периодическая функция должна удовлетворять условиям Дирихле: в пределах периода Т функция имеет конечное число разрывов, максимумов и минимумов. Реальные ЭДС, токи и напряжения в электрических цепях удовлетворяют этим условиям. Таким образом, несинусоидальная периодическая функция может быть представлена в виде бесконечного гармонического ряда Фурье:

, (7.2)

где А₀ – постоянная составляющая, А_n – амплитуда n-й гармоники, _n – начальная фаза n-й гармоники, n₁ – частота n-й гармоники. Частота называется основной частотой. В ряде Фурье каждая гармоническая составляющая имеет свои амплитуду, частоту и начальную фазу. Используя тригонометрические преобразования, ряд Фурье можно представить в виде

Рис. 7.2. Спектр амплитуд периодической функции

, (7.3)

где коэффициенты ряда Фурье вычисляются по формулам, полученным на основе свойства ортогональности гармонических функций:

(7.4)

Между коэффициентами ряда Фурье в форме (7.2) и (7.3) существует связь:

.

Для четных функций b_n=0, для нечетных функций a_n=0.

Набор коэффициентов ряда Фурье А_n и _n образует спектры амплитуд и фаз периодической несинусоидальной функции. Амплитудный спектр принято изображать в виде диаграммы (рис. 7.2).

Спектр периодических функций линейчатый. Расстояние между соседними линиями равно основной частоте .